normed vector space

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ノルム線型空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/12/24 13:04 UTC 版)

数学における空間のヒエラルキー

数学におけるノルム線型空間（ノルムせんけいくうかん、英: normed vector space; ノルム付きベクトル空間、ノルム付き線型空間）または短くノルム空間は、ノルムの定義されたベクトル空間を言う。

各成分が実数の、二次元あるいは三次元のベクトルからなる空間では、直観的にベクトルの「大きさ」（長さ）の概念が定義できる。この直観的アイデアを任意有限次元の実数ベクトル空間 Rⁿ に拡張するのは容易い。ベクトル空間におけるそのようなベクトルの大きさは以下のような性質を持つ:

• 零ベクトル 0 は大きさ零、そのほかのベクトルは正の大きさを持つ。
• ベクトルを正数倍すると、向きはそのままに大きさだけが変化する。
• 三角不等式を満足する。つまり、ベクトルの大きさを距離と見て、点 A から点 B を経由しての点 C まで行くときの距離は直接 A から C まで行く距離よりも短くなることはない（任意の二点間の最短距離は直線距離である）。

これらの三性質をより抽象的なベクトル空間へ一般化することでノルムの概念は与えられる。ノルム空間（および半ノルム空間）は線型代数学および函数解析学の研究の中核である。

定義

ノルム体 K 上のノルム線型空間とは、K-線型空間 V と V 上のノルム ‖ • ‖ の組 (V, ‖ • ‖) を言う。ノルムは以下の性質

1. 半正値性: $\|x\|\geq 0\ (\forall x\in V),\quad \|x\|=0\iff x=0$ カテゴリ