n が小さなときの証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/06 08:01 UTC 版)
「シャピロの不等式」の記事における「n が小さなときの証明」の解説
n = 2 {\displaystyle n=2} x 1 x 2 + x 1 + x 2 x 1 + x 2 = 1 ≥ 2 2 {\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}=1\geq {\frac {2}{2}}} より自明である。 n = 3 {\displaystyle n=3} この場合をネスビットの不等式（英語版）といい、様々な証明が知られている。 正の数 a に対して、相加平均と相乗平均の不等式から、 a + 1 a ≥ 2 a ⋅ 1 a = 2 {\displaystyle a+{\frac {1}{a}}\geq 2{\sqrt {a\cdot {\frac {1}{a}}}}=2} よって、 S 3 := x 1 x 2 + x 3 + x 2 x 3 + x 1 + x 3 x 1 + x 2 {\displaystyle S_{3}:={\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{1}}}+{\frac {x_{3}}{x_{1}+x_{2}}}} とおくと 2 S 3 = x 3 + x 1 x 2 + x 3 + x 1 + x 2 x 2 + x 3 + x 1 + x 2 x 3 + x 1 + x 2 + x 3 x 3 + x 1 + x 2 + x 3 x 1 + x 2 + x 3 + x 1 x 1 + x 2 − 3 ≥ 2 + 2 + 2 − 3 = 3 {\displaystyle {\begin{aligned}2S_{3}&={\frac {x_{3}+x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{3}+x_{1}}}\\&+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{1}+x_{2}}}+{\frac {x_{3}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}-3\\&\geq 2+2+2-3=3\end{aligned}}} ゆえに S 3 ≥ 3 2 {\displaystyle S_{3}\geq {\frac {3}{2}}} 。 n = 4 {\displaystyle n=4} 正の数 a, b に対して、相加平均と調和平均の不等式から、 1 a + 1 b ≥ 4 a + b {\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\geq {\frac {4}{a+b}}} また、正の数 a, b, c, d に対して、相加平均と相乗平均の不等式から、 b a + c b + d c + a d ≥ 4 b a c b d c a d 4 = 4 {\displaystyle {\frac {b}{a}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {d}{c}}+{\frac {a}{d}}\geq 4{\sqrt[{4}]{{\frac {b}{a}}{\frac {c}{b}}{\frac {d}{c}}{\frac {a}{d}}}}=4} ここで S 4 := x 1 x 2 + x 3 + x 2 x 3 + x 4 + x 3 x 4 + x 1 + x 4 x 1 + x 2 {\displaystyle S_{4}:={\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}} とおくと 2 S 4 = x 1 + x 2 x 2 + x 3 + x 2 + x 3 x 3 + x 4 + x 3 + x 4 x 4 + x 1 + x 4 + x 1 x 1 + x 2 + x 3 x 2 + x 3 + x 4 x 3 + x 4 + x 1 x 4 + x 1 + x 2 x 1 + x 2 − 4 + S 4 ≥ 4 + x 3 x 2 + x 3 + x 4 x 3 + x 4 + x 1 x 4 + x 1 + x 2 x 1 + x 2 − 4 + S 4 = x 3 x 2 + x 3 + x 4 x 3 + x 4 + x 1 x 4 + x 1 + x 2 x 1 + x 2 + x 1 x 2 + x 3 + x 2 x 3 + x 4 + x 3 x 4 + x 1 + x 4 x 1 + x 2 = ( x 1 + x 3 ) ( 1 x 2 + x 3 + 1 x 4 + x 1 ) + ( x 2 + x 4 ) ( 1 x 3 + x 4 + 1 x 1 + x 2 ) ≥ 4 ( x 1 + x 3 ) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + 4 ( x 2 + x 4 ) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 {\displaystyle {\begin{aligned}2S_{4}&={\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}+x_{4}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}\\&+{\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}-4+S_{4}\\&\geq 4+{\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}-4+S_{4}\\&={\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\\&+{\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}&=(x_{1}+x_{3})\left({\frac {1}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}+x_{1}}}\right)+(x_{2}+x_{4})\left({\frac {1}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {1}{x_{1}+x_{2}}}\right)\\&\geq {\frac {4(x_{1}+x_{3})}{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}}+{\frac {4(x_{2}+x_{4})}{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}}\\&=4\end{aligned}}} ゆえに S 4 ≥ 4 2 {\displaystyle S_{4}\geq {\frac {4}{2}}} 。
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