数学 における多項定理 （たこうていり、英 : multinomial theorem 展開 した式を表すものである。二項定理 において項数を一般化したものである。
多項公式 (multinomial formula) とは、正整数 m , 非負整数 n に対して、m 項和の任意の n -冪を展開すると
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
m
)
n
=
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
m
k
m
{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\dotsb {x_{m}}^{k_{m}}}
となることを示すものである。ここで係数 ( n k 1 , …, km ) 多項係数 と呼ばれ、
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
=
n
!
k
1
!
k
2
!
⋯
k
m
!
{\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}
となる。また、k 1 , k 2 , …, km k 1 + k 2 + … + km = n n となる。また、x 0 二項定理 の場合と同様に、（x が零のときも含めて恒等的に）1 と定義している。
多重添字記法 を用いると、定理の主張は
(
x
1
+
⋯
+
x
m
)
n
=
∑
|
α
|
=
n
(
n
α
)
x
α
{\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{|\alpha |=n}{\dbinom {n}{\alpha }}x^{\alpha }}
略記できる。ここに、α = (α1 , α2 , …, αm x = (x 1 , x 2 , …, xm ) x α = x α1 x α2 ⋅ ⋯ ⋅x αm m |α| = α1 + α2 + … + αm 1 ! α2 ! ⋅ … ⋅ αm (n n !/ α! |α| / α!
例えば、
(
a
+
b
+
c
)
3
{\displaystyle (a+b+c)^{3}}
(
a
+
b
+
c
)
3
=
(
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
+
c
)
=
a
3
+
b
3
+
c
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
3
b
2
c
+
3
b
c
2
+
3
c
2
a
+
3
c
a
2
+
6
a
b
c
{\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)^{3}&=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)\\&=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+3c^{2}a+3ca^{2}+6abc\end{aligned}}}
二項定理の組合せ論 的証明と同様に証明できる。
n 個の (x 1 + x 1 + … + xm )
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
m
)
n
=
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
m
)
⋯
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
m
)
⏟
n
factors
{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\underbrace {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})\cdots (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})} _{n{\text{ factors}}}}
一度に展開すると、それぞれの (x 1 + x 1 + … + xm ) x 1 , …, xm n 個の総乗 の総和 となる。
これらの積のうち、並び替えて x 1 k 1 xm km (k 1 + … + km = n )k 1 x 1 km 個の xm を並べる場合の数だけあるから、多項係数 ( n k 1 , …, km ) x 1 k 1 xm km
n !/ k 1 !…km !
二項定理と同様に、指数 n についての数学的帰納法 で証明できる。
n =1
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
m
)
1
=
1
x
1
+
1
x
2
+
⋯
+
1
x
m
,
{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{1}=1x_{1}+1x_{2}+\cdots +1x_{m},}
1
!
1
!
0
!
⋯
0
!
=
1
{\displaystyle {\frac {1!}{1!\,0!\,\cdots 0!}}=1}
より成り立つ。
ある n について成り立つと仮定する。
(
x
1
+
⋯
+
x
m
)
n
=
∑
k
1
+
⋯
+
k
m
=
n
(
n
k
1
,
⋯
,
k
m
)
x
1
k
1
⋯
x
m
k
m
{\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}
より、
=
(
x
1
+
⋯
+
x
m
)
n
+
1
{\displaystyle {\hphantom {=}}\;(x_{1}+\cdots +x_{m})^{n+1}}
=
(
x
1
+
⋯
+
x
m
)
(
x
1
+
⋯
+
x
m
)
n
{\displaystyle =(x_{1}+\cdots +x_{m})(x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}}
=
(
x
1
+
⋯
+
x
m
)
∑
k
1
+
⋯
+
k
m
=
n
(
n
k
1
,
⋯
,
k
m
)
x
1
k
1
⋯
x
m
k
m
{\displaystyle =(x_{1}+\cdots +x_{m})\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}
=
x
1
∑
k
1
+
⋯
+
k
m
=
n
(
n
k
1
,
⋯
,
k
m
)
x
1
k
1
⋯
x
m
k
m
+
x
m
∑
k
1
+
⋯
+
k
m
=
n
(
n
k
1
,
⋯
,
k
m
)
x
1
k
1
⋯
x
m
k
m
{\displaystyle =x_{1}\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+x_{m}\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}
=
∑
k
1
+
⋯
+
k
m
=
n
(
n
k
1
,
⋯
,
k
m
)
x
1
k
1
+
1
x
2
k
2
⋯
x
m
k
m
+
∑
k
1
+
⋯
+
k
m
=
n
(
n
k
1
,
⋯
,
k
m
)
x
1
k
1
⋯
x
m
−
1
k
m
−
1
x
m
k
m
+
1
{\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}+1}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}{x_{m}}^{k_{m}+1}}
=
∑
k
1
+
⋯
+
k
m
=
n
+
1
k
1
≥
1
(
n
k
1
,
⋯
,
k
m
)
x
1
k
1
⋯
x
m
k
m
+
∑
k
1
+
⋯
+
k
m
=
n
k
m
≥
1
(
n
k
1
,
⋯
,
k
m
)
x
1
k
1
⋯
x
m
k
m
{\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1 \atop k_{1}\geq 1}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n \atop k_{m}\geq 1}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}
=
∑
k
1
+
⋯
+
k
m
=
n
+
1
(
n
k
1
−
1
,
k
2
,
⋯
,
k
m
)
x
1
k
1
⋯
x
m
k
m
+
∑
k
1
+
⋯
+
k
m
=
n
+
1
(
n
k
1
,
⋯
,
k
m
−
1
,
k
m
−
1
)
x
1
k
1
⋯
x
m
k
m
{\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}{\dbinom {n}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m-1},k_{m}-1}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}
(
∵
(
n
⋯
,
−
1
,
⋯
)
=
0
)
{\displaystyle \left(\because {\binom {n}{\cdots ,-1,\cdots }}=0\right)}
=
∑
k
1
+
⋯
+
k
m
=
n
+
1
[
(
n
k
1
−
1
,
k
2
,
⋯
,
k
m
)
+
⋯
+
(
n
k
1
,
⋯
,
k
m
−
1
,
k
m
−
1
)
]
x
1
k
1
⋯
x
m
k
m
{\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}\left[{\dbinom {n}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{m}}}+\cdots +{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m-1},k_{m}-1}}\right]{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}
=
∑
k
1
+
⋯
+
k
m
=
n
+
1
(
n
+
1
k
1
,
⋯
,
k
m
)
x
1
k
1
⋯
x
m
k
m
{\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}{\dbinom {n+1}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}
最後の等号は
(
n
+
1
k
1
,
⋯
,
k
m
)
=
(
n
k
1
−
1
,
k
2
,
⋯
,
k
m
)
+
⋯
+
(
n
k
1
,
⋯
,
k
m
−
1
,
k
m
−
1
)
{\displaystyle {\dbinom {n+1}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}={\dbinom {n}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{m}}}+\cdots +{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m-1},k_{m}-1}}}
が成り立つことを用いたが、これは右辺の階乗 表示：
n
!
(
k
1
−
1
)
!
k
2
!
⋯
k
m
−
1
!
+
⋯
n
!
k
1
!
⋯
k
m
−
1
!
(
k
m
−
1
)
!
{\displaystyle {\frac {n!}{(k_{1}-1)!k_{2}!\cdots k_{m-1}!}}+\cdots {\frac {n!}{k_{1}!\cdots k_{m-1}!(k_{m}-1)!}}}
を通分すると左辺になることが示せる。
二項定理 を既知とすると、項数 m について数学的帰納法により証明できる。
まず m = 1k 1 = n x 1 n に等しい。
次に、m に対して多項定理が成り立つと仮定する。
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
m
+
x
m
+
1
)
n
=
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
m
−
1
+
(
x
m
+
x
m
+
1
)
)
n
{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m-1}+(x_{m}+x_{m+1}))^{n}}
に帰納法の仮定を適用して
=
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
−
1
+
K
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
K
)
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
m
−
1
k
m
−
1
(
x
m
+
x
m
+
1
)
K
=
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
−
1
+
K
=
n
(
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
K
)
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
m
−
1
k
m
−
1
∑
k
m
+
k
m
+
1
=
K
(
K
k
m
,
k
m
+
1
)
x
m
k
m
x
m
+
1
k
m
+
1
)
(
binomial theorem
)
=
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
−
1
+
K
=
n
∑
k
m
+
k
m
+
1
=
K
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
K
)
(
K
k
m
,
k
m
+
1
)
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
m
−
1
k
m
−
1
x
m
k
m
x
m
+
1
k
m
+
1
=
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
−
1
+
k
m
+
k
m
+
1
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
k
m
,
k
m
+
1
)
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
m
−
1
k
m
−
1
x
m
k
m
x
m
+
1
k
m
+
1
(
refer the below described Annotation
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}\\&=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}\left({\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}\sum \limits _{k_{m}+k_{m+1}=K}{\dbinom {K}{k_{m},k_{m+1}}}{x_{m}}^{k_{m}}{x_{m+1}}^{k_{m+1}}\right)\\&({\text{binomial theorem}})\\&=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}\sum \limits _{k_{m}+k_{m+1}=K}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}}{\dbinom {K}{k_{m},k_{m+1}}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}{x_{m}}^{k_{m}}{x_{m+1}}^{k_{m+1}}\\&=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+k_{m}+k_{m+1}=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}{x_{m}}^{k_{m}}{x_{m+1}}^{k_{m+1}}\\&({\text{refer the below described Annotation}})\\\end{aligned}}}
を得る。最後の等号は
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
K
)
(
K
k
m
,
k
m
+
1
)
=
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
k
m
,
k
m
+
1
)
{\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}}{\binom {K}{k_{m},k_{m+1}}}={\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}}}
が成り立つことを用いたが、これは例えば階乗による表示を用いれば
n
!
k
1
!
k
2
!
⋯
k
m
−
1
!
K
!
K
!
k
m
!
k
m
+
1
!
=
n
!
k
1
!
k
2
!
⋯
k
m
+
1
!
{\displaystyle {\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}}
と示せる。
3個以上の函数の積の高階導函数に対しても、一般のライプニッツの法則 を適用することができる：
(
f
1
⋯
f
m
)
(
n
)
=
∑
k
1
+
⋯
+
k
m
=
n
(
n
k
1
,
⋯
,
k
m
)
f
1
(
k
1
)
⋯
f
m
(
k
m
)
{\displaystyle (f_{1}\cdots f_{m})^{(n)}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{f_{1}}^{(k_{1})}\cdots {f_{m}}^{(k_{m})}}
![{\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}\left[{\dbinom {n}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{m}}}+\cdots +{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m-1},k_{m}-1}}\right]{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe44ee2c1b74c88132fe784d37b3606d40cfcda)
