無記憶性 （むきおくせい、英語 : Memorylessness ）とは、確率論 や統計学 における確率分布 の性質の一つ。 直感的な説明としては、無記憶性を持つ確率分布では、過去の失敗や経過時間が将来の試行やさらなる待機時間に影響しない。幾何分布 と指数分布 のみがこの性質を持つ。
離散的または連続的な確率変数
X
{\displaystyle X}
非負 なる
s
,
t
{\displaystyle s,t}
Pr
(
X
>
t
+
s
∣
X
>
s
)
=
Pr
(
X
>
t
)
{\displaystyle \Pr(X>t+s\mid X>s)=\Pr(X>t)}
ここで、
Pr
(
A
)
{\displaystyle \Pr(A)}
Pr
(
A
|
B
)
{\displaystyle \Pr(A|B)}
条件付き確率 をそれぞれ表す[ 1] [ 2]
s
{\displaystyle s}
s
{\displaystyle s}
t
{\displaystyle t}
t
{\displaystyle t}
独立 である。すなわち、既存の結果が将来的な観測に関してなんの影響も及ぼさない。
この等式は、離散的な確率変数に対して幾何分布 を、また連続的な確率変数に対して指数分布 をそれぞれ特徴づける [ 1] [ 3]
離散確率分布においては、定義式が
Pr
(
X
>
t
+
s
∣
X
≥
s
)
=
Pr
(
X
>
t
)
{\textstyle \Pr(X>t+s\mid X\geq s)=\Pr(X>t)}
と変更されることがある。この場合、
X
{\displaystyle X}
1
{\displaystyle 1}
0
{\displaystyle 0}
[ 4] [ 5]
ある連続確率分布が無記憶性を持つ場合、その確率分布は指数分布である。このことは以下のようにして証明できる。
無記憶性の定義式から、以下が成立する:
Pr
(
X
>
t
+
s
∣
X
>
s
)
=
Pr
(
X
>
t
)
{\displaystyle \Pr(X>t+s\mid X>s)=\Pr(X>t)}
Pr
(
X
>
t
+
s
)
Pr
(
X
>
s
)
=
Pr
(
X
>
t
)
{\displaystyle {\frac {\Pr(X>t+s)}{\Pr(X>s)}}=\Pr(X>t)}
生存関数
S
(
t
)
=
Pr
(
X
>
t
)
{\displaystyle S(t)=\Pr(X>t)}
S
(
t
+
s
)
=
S
(
t
)
S
(
s
)
{\displaystyle S(t+s)=S(t)S(s)}
s
=
t
,
2
t
,
…
{\displaystyle s=t,2t,\ldots }
自然数
k
{\displaystyle k}
t
{\displaystyle t}
S
(
k
t
)
=
S
(
t
)
k
{\displaystyle S(kt)=S(t)^{k}}
さらに、この式で
k
t
=
t
′
{\displaystyle kt=t'}
1
/
k
{\displaystyle 1/k}
自然数
k
{\displaystyle k}
t
′
{\displaystyle t'}
S
(
t
′
k
)
=
S
(
t
′
)
1
k
{\displaystyle S\left({\frac {t'}{k}}\right)=S(t')^{\frac {1}{k}}}
有理数
r
{\displaystyle r}
t
{\displaystyle t}
S
(
r
t
)
=
S
(
t
)
r
{\displaystyle S(rt)=S(t)^{r}}
が成立することが示される。有理数の稠密性 と生存関数の連続性より、この関係性は任意の非負なる実数に対しても成立する。結果的に、
λ
=
−
ln
S
(
1
)
≥
0
{\displaystyle \lambda =-\ln S(1)\geq 0}
t
{\displaystyle t}
S
(
t
)
=
S
(
1
)
t
=
e
t
ln
S
(
1
)
=
e
−
λ
t
{\displaystyle S(t)=S(1)^{t}=e^{t\ln S(1)}=e^{-\lambda t}}
[ 3]
ある離散確率分布が無記憶性を持つ場合、その確率分布は幾何分布である。このことは以下のようにして証明できる。ただし、
X
{\displaystyle X}
{
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle \{1,2,\ldots \}}
Pr
(
X
>
t
+
s
)
Pr
(
X
>
s
)
=
Pr
(
X
>
t
)
{\displaystyle {\frac {\Pr(X>t+s)}{\Pr(X>s)}}=\Pr(X>t)}
k
{\displaystyle k}
Pr
(
X
>
k
+
1
)
=
Pr
(
X
>
1
)
Pr
(
X
>
k
)
{\displaystyle \Pr(X>k+1)=\Pr(X>1)\Pr(X>k)}
が得られるので、上の式を繰り返し適用することで、1以上の自然数
k
{\displaystyle k}
Pr
(
X
>
k
)
=
Pr
(
X
>
1
)
k
{\displaystyle \Pr(X>k)=\Pr(X>1)^{k}}
X
{\displaystyle X}
r
<
1
{\displaystyle r<1}
Pr
(
X
>
r
)
=
1
{\displaystyle \Pr(X>r)=1}
t
{\displaystyle t}
Pr
(
X
>
t
)
{\displaystyle \Pr(X>t)}
Pr
(
X
>
t
)
=
Pr
(
X
>
⌊
t
⌋
+
(
t
−
⌊
t
⌋
)
)
=
Pr
(
X
>
⌊
t
⌋
)
Pr
(
X
>
t
−
⌊
t
⌋
)
=
Pr
(
X
>
1
)
⌊
t
⌋
{\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(X>t)&=\Pr(X>\lfloor t\rfloor +(t-\lfloor t\rfloor ))\\&=\Pr(X>\lfloor t\rfloor )\Pr(X>t-\lfloor t\rfloor )\\&=\Pr(X>1)^{\lfloor t\rfloor }\end{aligned}}}
⌊
t
⌋
{\displaystyle \lfloor t\rfloor }
t
{\displaystyle t}
累積分布関数
F
X
(
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)}
F
X
(
x
)
=
Pr
(
X
≤
x
)
=
1
−
Pr
(
X
>
x
)
=
1
−
(
Pr
(
X
>
1
)
)
⌊
x
⌋
{\displaystyle {\begin{aligned}F_{X}(x)&=\Pr(X\leq x)=1-\Pr(X>x)\\&=1-(\Pr(X>1))^{\lfloor x\rfloor }\end{aligned}}}
p
=
1
−
Pr
(
X
>
1
)
{\displaystyle p=1-\Pr(X>1)}
F
X
(
x
)
=
1
−
(
1
−
p
)
⌊
x
⌋
{\displaystyle F_{X}(x)=1-(1-p)^{\lfloor x\rfloor }}
が得られる。これは幾何分布の累積分布関数に他ならない。
^ a b Dekking, Frederik Michel; Kraaikamp, Cornelis; Lopuhaä, Hendrik Paul; Meester, Ludolf Erwin (2005). A Modern Introduction to Probability and Statistics doi :10.1007/1-84628-168-7 . ISBN 978-1-85233-896-1 . http://link.springer.com/10.1007/1-84628-168-7
^ Pitman, Jim (1993) (英語). Probability doi :10.1007/978-1-4612-4374-8 .
ISBN 978-0-387-94594-1 . http://link.springer.com/10.1007/978-1-4612-4374-8 ^ a b Riposo, Julien (2023) (英語). Some Fundamentals of Mathematics of Blockchain doi :10.1007/978-3-031-31323-3 .
ISBN 978-3-031-31322-6 . https://link.springer.com/10.1007/978-3-031-31323-3
^ Johnson, Norman L.; Kemp, Adrienne W.; Kotz, Samuel (2005-08-19) (英語). Univariate Discrete Distributions doi :10.1002/0471715816 .
ISBN 978-0-471-27246-5 . https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/0471715816 ^ Weisstein. “Memoryless ” (英語). mathworld.wolfram.com . 2024年12月2日時点のオリジナルよりアーカイブ 。2024年7月25日閲覧。
