fractal Brownian motionとは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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フラクタルブラウン運動

平均が $0$ となるように値をずらせた確率過程 $X(t)$ がガウス過程，すなわち，任意の正の整数 $n$ と任意の $0 < t_{1} < \cdots < t_{n}$ に対して， $X(t_{1}), X(t_{2}), \cdots, X(t_{n})$ の結合分布が多次元正規分布に等しいとする．この確率過程は，共分散が $0 < H < 1$ を満たす定数 $H$ に対して，

$Cov(X(s),X(t)) = \frac 12 (t^{2H} + s^{2H} - (t-s)^{2H}), \qquad t > s > 0$

であるとき，ハースト定数 $H$ をもつ自己相似過程となる．この自己相似過程を，ハースト定数 $H$ をもつフラクタルブラウン運動と呼ぶ．特に， $H=\frac 12$ ならばブラウン運動に等しい． $H > \frac 12$ ならば $H$ が大きいほど強い正の相関をもち， $0 < H < \frac 12$ ならば負の相関をもつ．

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