factor theoremとは？わかりやすく解説

因数定理（いんすうていり、英: factor theorem）とは、多項式の根から元の多項式を因数分解することができるという定理である。因数定理は剰余の定理の特別の場合になっている^[1]。

定理 (Ruffini^{[要検証 – ノート]}): 多項式 $f (x)$ が一次式 $x - α$ を因子に持つ必要十分条件は $f (α) = 0$ 、すなわち $α$ が多項式 $f (x)$ の根となることである^[2]。

概要

多項式を一次式の積に因数分解するのは、「多項式の根を求めること」と本質的に等価な問題であることが分かる。

多項式の根が1つ求まれば、因数分解により、未知の根からなる多項式は次数は下がるため、根をより求めやすくなる。多項式の全ての根を求める手順は以下の通りである^[3]：

多項式 $f$ の根 $α$ を「推測する」。（一般にはこれは「非常に困難」である。ただし、係数体が有理数の場合は、有理根定理により、有理根の候補が有限個に絞れる。係数体が実数の場合は、グラフから根の近似値を求めることができる）
因数定理により $x - α$ は $f$ の因子である。
$(x - α) g (x) = f (x)$ となる多項式 $g$ を、実際に $f (x)$ を $x - α$ で多項式として（多項式の長除法（英語版）、組立除法（英語版）などにより）割ることで求める。
$f$ の $α$ 以外の根は、 $g$ の根である。 $g$ の次数は $f$ より一つ下がるから、 $f$ の $α$ 以外の根を求めることは、簡単になる。