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単葉関数

(Univalent function から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/07 09:56 UTC 版)

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単葉関数 (たんようかんすう、英: univalent function)は、複素解析における用語である。複素平面(ガウス平面)上のある開集合(領域)上で定義された複素関数が単射(1対1写像)である場合、その関数は単葉であると表現し、また、その関数を単葉関数と呼ぶ。正則である必要はないが通常は正則な単葉関数を考察の対象にする。このような正則かつ単葉な関数は、英語ではコンフォーマル(Conformal) であると表現するが^[1]、日本語では単に単葉正則であると表現する場合が多いようである。

基本的な性質

定理 (単葉正則関数の基本定理)

$f(z)$ を複素平面のある連結領域 $D$ で定義された正則関数とし、その微分を $f'(z)$ で表す。

(1)

f(z)

が

D

で単葉であれば

D

で

f'(z)\neq 0

である。

(2)

D

の点

z_{0}

で

f'(z_{0})\neq 0

であれば、

z_{0}

の近傍

U

を、

U

で

f(z)

が単葉になるように選ぶことができる^[1]。

証明

(1) $D$ で $f(z)$ が単葉正則であるが、 $f'(z)$ の零点が存在すると仮定して矛盾を導く。

まず、 $f'(z)$ の零点の内の一つを任意に選んで $z_{0}$ とする。 $z_{0}$ の近傍 $U$ を、その閉包 ${\overline {U}}$ がコンパクトで ${\overline {U}}\subset D$ となるように選ぶ。

この仮定の下では、 ${\overline {U}}$ で $f'(z)$ の零点の個数は有限である。なぜなら、零点が無限個存在するとすれば、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理により ${\overline {U}}$ において全ての零点の集合は少なくとも1個の集積点を持つことになり、一致の定理から $U$ で $f'(z)=0$ となり、 $f(z)$ は単葉正則という仮定に反するからである。

$U$ で $z_{0}$ 以外に零点が存在する場合は、閉包がその零点を含まないように $U$ を選び直す（このような操作は零点が有限個であるから可能である）。

$g(z)=f(z)-f(z_{0})$ と置けば $g(z_{0})=g'(z_{0})=0$ である。従って $z=z_{0}$ における $g$ の位数は2以上で、これを $n$ とすれば $g(z)=(z-z_{0})^{n}g_{1}(z)$ 、 $g_{1}(z_{0})\neq 0$ と置くことができる。

$g$ は $\partial U$ 上で零点を持たず、また $\partial U$ はコンパクトであるため、 $0<|\alpha |<\min _{z\in \partial U}|g(z)|$ を満たす複素数 $\alpha$ を任意に選べば、ルーシェの定理から $U$ における $g(z)$ と $h(z)=g(z)+\alpha$ の位数を含めた零点の個数はともに $n$ となる。

$h$ について、 $h(z_{0})=\alpha \neq 0$ であり、 $h'(z)=f'(z)$ は $U$ で $z_{0}$ 以外に零点を持たないので、 $U$ における $h$ の零点の位数は1である（重根を持たない）。したがって $h$ は $U$ で位数1の相異なる零点を $n(\geq 2)$ 個持つことになる。

以上から、 $f(z)=h(z)+f(z_{0})-\alpha$ は $U$ で同じ値となる点を複数持つことになり、 $f(z)$ が $D$ で単葉であるという仮定に反する。

(2) $g(z)=f(z)-f(z_{0})$ と置き、(1) と同様にして、 $z_{0}$ の近傍 $U$ を、 ${\overline {U}}$ がコンパクトで、その上では $z_{0}$ のみが $g(z)$ の零点となるように選ぶ。

$g(z_{0})=0$ 、 $g'(z_{0})=f'(z_{0})\neq 0$ であるから $z_{0}$ は $g$ の1位の零点である。

$g$ は $\partial U$ 上で零点を持たず、また $\partial U$ はコンパクトであるため、 $0<|-\alpha |<\min _{z\in \partial U}|g(z)|$ を満たす複素数 $\alpha$ を任意に選べば、ルーシェの定理から $U$ における $g(z)$ と $g(z)-\alpha$ の零点の全位数は共に1である。

すなわち、 $g(z)=\alpha$ となる点が $U$ においてただ一つ存在する。 $V=\{z\mid |g(z)|<\min _{z\in \partial U}|g(z)|\}\subset U$ と置けば、 $V$ 上で $g(z)$ および $f(z)=g(z)+f(z_{0})$ は単葉である。

系

$f(z)$ を複素平面のある領域 $D$ で定義された単葉正則関数とすれば、 $f(z)$ は単葉正則な逆写像 $f^{-1}(\omega )$ を持ち、連鎖律から、

{\frac {df^{-1}(\omega )}{d\omega }}={\frac {1}{f'(z)}},\quad \omega =f(z)

となる。

例

$|a|<1$ である任意の複素数 $a$ に対して $\phi _{a}(z)={\frac {z-a}{1-{\bar {a}}z}}\$ と定義すると、 $\phi _{a}$ は単位開円板 $\{z\mid |z|<1\}$ をそれ自身に写像するが、これは単位開円板を定義域とする単葉関数となる(この関数もリーマンの写像定理を証明する際に何度も繰り返して使用され、重要な働きをする)。