Rotation dyadic
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/19 10:45 UTC 版)
「二項積」の記事における「Rotation dyadic」の解説
二次元の任意のベクトル a に対して単位二項積への左交叉積: a × I {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {I} } は a の周りの 90° 反時計回りの回転を与える二項積である。あるいは、一般二項積テンソル J = j i − i j = ( 0 − 1 1 0 ) {\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {ji-ij} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}} も二次元の 90° 反時計回りの回転になる。これはベクトルに左点乗積で回転を表す: ( j i − i j ) ⋅ ( x i + y j ) = x j i ⋅ i − x i j ⋅ i + y j i ⋅ j − y i j ⋅ j = − y i + x j , {\displaystyle (\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {ji} \cdot \mathbf {i} -x\mathbf {ij} \cdot \mathbf {i} +y\mathbf {ji} \cdot \mathbf {j} -y\mathbf {ij} \cdot \mathbf {j} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} ,} 行列として書けば ( 0 − 1 1 0 ) ( x y ) = ( − y x ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}.} 一般に、反時計回りの角 θ の二次元回転二項積は I cos θ + J sin θ = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) {\displaystyle \mathbf {I} \cos \theta +\mathbf {J} \sin \theta ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\;\cos \theta \end{pmatrix}}} で与えられる。ただし、I, J は上で与えたものとする。
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