リッチフローとは？わかりやすく解説

リッチフロー (Ricci flow) とは、微分幾何学における本来の幾何学的フロー(geometric flow)^[1]の一つである。リッチフローは、熱伝導方程式に形式的に似た方法でリーマン多様体の計量の特異点を滑らかに変形する過程である。

グレゴリオ・リッチ＝クルバストロ(Gregorio Ricci-Curbastro)の名前に因むリッチフローは、最初にリチャード・ハミルトン (Richard Hamilton) により1981年に導入され、リッチ・ハミルトンフロー (Ricci–Hamilton flow) とも呼ばれる。リッチフローは、最初にグリゴリー・ペレルマン (Grigori Perelman) によりポアンカレ予想の証明のために使われ、同様に、サイモン・ブレンデルとリチャード・シェーンによる微分可能球面定理（英語版）(differentiable sphere theorem) の証明に使われた。

数学的定義

計量テンソル $g ij$ を持つリーマン多様体が与えられると、リッチテンソル $R ij$ を計算することができる。リッチテンソルは、一種のリーマン曲率テンソルの「トレース」の断面曲率の平均値を集めたものである。計量テンソルと関連付けられたリッチテンソルを、通常は「時間」と呼ばれる（必ずしも物理的な時間と関係ないこともありうる）変数とすると、リッチフローは、幾何学的発展方程式 (geometric evolution equation)

\partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}

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Ricci flow Theme on arxiv.org

外部リンク

Isenberg, James A. “Ricci Flow” (video). Brady Haran. 2014年4月23日閲覧。

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