ポアンカレ・ホップの定理

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ポアンカレ・ホップの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/08/15 07:40 UTC 版)

数学において、ポアンカレ・ホップの定理(Poincaré–Hopf theorem)（ポアンカレ・ホップの指数公式、ポアンカレ・ホップの指数定理、あるいはホップの指数定理）は、微分トポロジーで用いられる重要な定理である。定理名はアンリ・ポアンカレ(Henri Poincaré）とハインツ・ホップ(Heinz Hopf)に因む。

ポアンカレ・ホップの定理は髪の毛定理(Hairy ball theorem)の特別な場合としてしばしば説明される。髪の毛の定理とは、湧出点も流入点もない滑らかなベクトル場は球面上に存在しないという定理である。

定理の内容

M を次元 n の微分可能多様体とし、v を M 上のベクトル場とする。x を v の孤立した零点とし、x 付近の局所座標を固定する。x に中心をもつ閉球体 D を、D の中で x が v の唯一の零点となるように取る。このとき x における v の指数 index_x(v) を、u(z)=v(z)/| v(z) | で与えられる D の境界から (n−1) 次元球面への写像 u:∂D→S^n-1 の次数として定義する。

定理： M をコンパクトで向き付けられた微分可能多様体とする。v は孤立零点のみをもつ M 上のベクトル場とする。M が境界を持つ場合は、v が境界上で外向きであることを仮定する。このとき、次の公式が成り立つ。

$\sum _{i}\operatorname {index} _{x_{i}}(v)=\chi (M)\ .$