平面応力状態 （へいめんおうりょくじょうたい）とは、物体内の応力 が平面的、すなわち、適当な座標系 (x , y , z ) に対して
σz zx zy
となる応力状態である[1] x , y の関数とみなしてよい。
平面応力状態でのフックの法則 平面応力状態でのフックの法則 は、E をヤング率 、νをポアソン比 として
σ
x
=
2
μ
ϵ
x
+
λ
′
(
ϵ
x
+
ϵ
y
)
,
σ
y
=
2
μ
ϵ
y
+
λ
′
(
ϵ
x
+
ϵ
y
)
,
σ
z
=
0
,
τ
x
y
=
2
μ
γ
x
y
,
τ
y
z
=
γ
z
x
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma _{x}=2\mu \epsilon _{x}+\lambda '(\epsilon _{x}+\epsilon _{y}),\quad \sigma _{y}=2\mu \epsilon _{y}+\lambda '(\epsilon _{x}+\epsilon _{y}),\quad \sigma _{z}=0,\\&\tau _{xy}=2\mu \gamma {xy},\quad \tau _{yz}=\gamma _{zx}=0\end{aligned}}}
または
ϵ
x
=
1
E
(
σ
x
−
ν
σ
y
)
,
ϵ
y
=
1
E
(
σ
y
−
ν
σ
x
)
,
ϵ
z
=
−
ν
E
(
σ
x
+
σ
y
)
,
γ
x
y
=
1
2
G
τ
x
y
,
γ
y
z
=
γ
z
x
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&\epsilon _{x}={\frac {1}{E}}(\sigma _{x}-\nu \sigma _{y}),\quad \epsilon _{y}={\frac {1}{E}}(\sigma _{y}-\nu \sigma _{x}),\quad \epsilon _{z}=-{\frac {\nu }{E}}(\sigma _{x}+\sigma _{y}),\\&\gamma _{xy}={\frac {1}{2G}}\tau _{xy},\quad \gamma _{yz}=\gamma _{zx}=0\end{aligned}}}
と表される[2] ラメ定数 、
λ
′
=
2
λ
μ
λ
+
2
μ
{\displaystyle \lambda '={\frac {2\lambda \mu }{\lambda +2\mu }}}
である。特に、平面応力状態では、z 軸方向の垂直ひずみは 0 とはならず、xy 平面のひずみのポアソン比に起因する分だけ発生する[3]
エアリーの応力関数 平面応力状態における応力の平衡方程式 は、外力が作用しない場合、次式となる[3] [4]
∂
σ
x
∂
x
+
∂
τ
x
y
∂
y
=
0
,
∂
τ
x
y
∂
x
+
∂
σ
y
∂
y
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial y}}=0,\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}=0.\end{aligned}}}
これは、次の関係式を満たすエアリー（Airy）の応力関数 φを導入することで自動的に満足される：
σ
x
=
∂
2
ϕ
∂
y
2
,
σ
y
=
∂
2
ϕ
∂
x
2
,
τ
x
y
=
−
∂
2
ϕ
∂
x
∂
y
.
{\displaystyle \sigma _{x}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}},\quad \sigma _{y}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}},\quad \tau _{xy}=-{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial y}}.}
これを上記のフックの法則を用いてφとひずみとの関係式に書き直し、ひずみの適合条件式 に代入することで、φの満たすべき条件式が次のように得られる：
∇
4
ϕ
=
∂
4
ϕ
∂
x
4
+
2
∂
4
ϕ
∂
x
2
∂
y
2
+
∂
4
ϕ
∂
y
4
=
∇
2
(
σ
x
+
σ
y
)
=
0.
{\displaystyle \nabla ^{4}\phi ={\frac {\partial ^{4}\phi }{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}\phi }{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}\phi }{\partial y^{4}}}=\nabla ^{2}(\sigma _{x}+\sigma _{y})=0.}
これはφが重調和関数 であり、主応力和（応力テンソルの第1不変量）が調和関数 であることを示す。
複素解析 の結果を用いると、応力関数は複素関数でも表現できる。この場合の応力関数をウェスターガード（Westergaard）の応力関数 と呼ぶ。
脚注 関連項目
