各モードの応力場
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/06 07:12 UTC 版)
式(8)の具体的な各応力成分および変位は以下のように与えられる。 モードI { σ x σ y τ x y } = K I π r cos ( θ / 2 ) { 1 − sin ( θ / 2 ) sin ( 3 θ / 2 ) 1 + sin ( θ / 2 ) sin ( 3 θ / 2 ) sin ( θ / 2 ) cos ( 3 θ / 2 ) } {\displaystyle {\begin{Bmatrix}\sigma _{x}\\\sigma _{y}\\\tau _{xy}\\\end{Bmatrix}}={\frac {K_{\rm {I}}}{\sqrt {\pi r}}}\cos(\theta /2){\begin{Bmatrix}1-\sin(\theta /2)\sin(3\theta /2)\\1+\sin(\theta /2)\sin(3\theta /2)\\\sin(\theta /2)\cos(3\theta /2)\\\end{Bmatrix}}} … (9) { u v } = K I 2 G r 2 π { cos ( θ / 2 ) [ κ − 1 + 2 sin 2 ( θ / 2 ) ] sin ( θ / 2 ) [ κ + 1 − 2 cos 2 ( θ / 2 ) ] } {\displaystyle {\begin{Bmatrix}u\\v\\\end{Bmatrix}}={\frac {K_{\rm {I}}}{\sqrt {2G}}}{\sqrt {\frac {r}{2\pi }}}{\begin{Bmatrix}\cos(\theta /2)\left[\kappa -1+2\sin ^{2}(\theta /2)\right]\\\sin(\theta /2)\left[\kappa +1-2\cos ^{2}(\theta /2)\right]\\\end{Bmatrix}}} … (10) モードII { σ x σ y τ x y } = K I I π r { − sin ( θ / 2 ) [ 2 + cos ( θ / 2 ) cos ( 3 θ / 2 ) ] sin ( θ / 2 ) cos ( θ / 2 ) cos ( 3 θ / 2 ) cos ( θ / 2 ) [ 1 − sin ( θ / 2 ) sin ( 3 θ / 2 ) ] } {\displaystyle {\begin{Bmatrix}\sigma _{x}\\\sigma _{y}\\\tau _{xy}\\\end{Bmatrix}}={\frac {K_{\rm {II}}}{\sqrt {\pi r}}}{\begin{Bmatrix}-\sin(\theta /2)\left[2+\cos(\theta /2)\cos(3\theta /2)\right]\\\sin(\theta /2)\cos(\theta /2)\cos(3\theta /2)\\\cos(\theta /2)\left[1-\sin(\theta /2)\sin(3\theta /2)\right]\\\end{Bmatrix}}} … (11) { u v } = K I I 2 G r 2 π { sin ( θ / 2 ) [ κ + 1 + 2 cos 2 ( θ / 2 ) ] − cos ( θ / 2 ) [ κ − 1 − 2 sin 2 ( θ / 2 ) ] } {\displaystyle {\begin{Bmatrix}u\\v\\\end{Bmatrix}}={\frac {K_{\rm {II}}}{\sqrt {2G}}}{\sqrt {\frac {r}{2\pi }}}{\begin{Bmatrix}\sin(\theta /2)\left[\kappa +1+2\cos ^{2}(\theta /2)\right]\\-\cos(\theta /2)\left[\kappa -1-2\sin ^{2}(\theta /2)\right]\\\end{Bmatrix}}} … (12) モードIII { τ z x τ y z } = K I I I π r { − sin ( θ / 2 ) cos ( θ / 2 ) } {\displaystyle {\begin{Bmatrix}\tau _{zx}\\\tau _{yz}\\\end{Bmatrix}}={\frac {K_{\rm {III}}}{\sqrt {\pi r}}}{\begin{Bmatrix}-\sin(\theta /2)\\\cos(\theta /2)\\\end{Bmatrix}}} … (13) w = 2 K I I I G r 2 π sin ( θ / 2 ) {\displaystyle w={\frac {2K_{\rm {III}}}{\sqrt {G}}}{\sqrt {\frac {r}{2\pi }}}\sin(\theta /2)} … (14) ただし、モードIとモードIIに対しては、plane stress：平面応力、plane strain：平面ひずみとして、 σ z = { 0 (plane stress) ν ( σ x + σ y ) (plane strain) {\displaystyle \sigma _{z}={\begin{cases}0\qquad {\mbox{(plane stress)}}\\\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})\qquad {\mbox{(plane strain)}}\end{cases}}} … (15) τ y z = τ z x = 0 {\displaystyle \tau _{yz}=\tau _{zx}=0} … (16) モードIIIに対しては σ x = σ y = σ z = τ x y = 0 {\displaystyle \sigma _{x}=\sigma _{y}=\sigma _{z}=\tau _{xy}=0} … (17) である。 ここで、u：x方向変位、v：y方向変位、w：z方向変位、G：横弾性係数、ν：ポアソン比で、κ は、 κ = { 3 − ν 1 + ν (plane stress) 3 − 4 ν (plane strain) {\displaystyle \kappa ={\begin{cases}{\frac {3-\nu }{1+\nu }}\qquad {\mbox{(plane stress)}}\\3-4\nu \qquad {\mbox{(plane strain)}}\end{cases}}} … (18) である。
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