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モナド (圏論)

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/22 09:42 UTC 版)

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コンピュータソフトウェアへのモナドの使用については「モナド (プログラミング)」をご覧ください。

数学の一分野である圏論において、モナド（英語: monad）とは、モノイドに似た構造を備えた自己関手である。モナドは半順序集合上の閉包作用素の一般化や、双圏（英語: bicategory）上のモノイドに似た構造として捉えられ、随伴関手（または随伴1-セル）と強い関係を持つ。双対概念はコモナド（英語版）である。

歴史的に、この構造は「双対標準構成（英: dual standard construction）」「トリプル（英: triple）」「モノイド（英: monoid）」「トライアド（英: triad）」と様々な呼称で呼ばれており、これについてソーンダース・マックレーンは『圏論の基礎』の中で「不幸にも「トリプル」という語がこの意味でしばしば用いられたことが無用な混乱を拡大した」と記している^[1]。「モナド」という語彙はライプニッツ（モナド (哲学) を参照）からの借用であるが、これを誰が名付けたかは定かではない。少なくともジャン・ベナブー（英語: Jean Bénabou）の1967年の論文に使用例が存在^[2]しており、1969年ごろの段階ではマックレーンもまだ呼称を決定していなかったことをロス・ストリート（英語: Ross Street）が明かしている^[3]。

定義

$C$

$T\mu$

自己関手の圏上のモノイドとして

圏 $C$

この節の加筆が望まれています。

脚注

[脚注の使い方]

^ Mac Lane 2012, p. 184.
^ Bénabou, Jean (1967). Bénabou, J.; Davis, R.; Dold, A. et al.. eds. “Introduction to bicategories” (英語). Reports of the Midwest Category Seminar (Berlin, Heidelberg: Springer): 1–77. doi:10.1007/BFb0074299. ISBN 978-3-540-35545-8.
^ “RE: Monads”. gmane. 2015年3月26日時点のオリジナル^{[リンク切れ]}よりアーカイブ。2015年3月26日閲覧。
^ Riehl 2016, p. 154.
^ Ward, Morgan (1942). “The Closure Operators of a Lattice”. Annals of Mathematics 43 (2): 191–196. doi:10.2307/1968865. ISSN 0003-486X. https://www.jstor.org/stable/1968865.
^ Riehl 2016, p. 156.
^ Mac Lane 2012, p. 185.
^ Mac Lane 2012, pp. 186–188.
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^ Mac Lane 2012, pp. 196–197.
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^ Mac Lane 2012, p. 198.

参考文献

Mac Lane, Saunders (1978). Categories for the Working Mathematician (2 ed.). Springer New York, NY. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-0-387-98403-2. ISSN 0072-5285
- Mac Lane, Saunders 著、三好博之、高木理訳（日本語）『圏論の基礎』丸善出版、2012年。 ISBN 978-4-621-06324-8。
Riehl, Emily (2016). Category Theory in Context. Aurora: Modern Math Originals. Dover Publications. ASIN B06XHZ82GF. ISBN 9780486809038
Turi, Daniele (2001), Category Theory Lecture Notes, http://www.dcs.ed.ac.uk/home/dt/CT/, "based on Mac Lane’s Categories for the Working Mathematician"
Barr, Michael; Wells, Charles (2020-04-15) [1990] (英語). Category Theory for Computing Science. doi:10.5555/92134
Godement, Roger (1958) (英語). Topologie Algébrique et Théorie des Faisceaux. Actualités Scientifiques et Industrielles, no. 1252, Paris, Hermann, 1958. viii+283 pp.. Paris: Hermann. doi:10.1090/s0002-9904-1960-10369-2. ISSN 1088-9485
Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds (2004). Categorical foundations: Special Topics in Order, Topology, Algebra, and Sheaf Theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001

外部リンク

Monads - YouTubeプレイリスト, five short lectures (with one appendix).
Baez, John (1996年9月17日). “This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 89)”. 2013年8月23日閲覧。 covers monads in 2-categories.