ミンコフスキーの定理

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ミンコフスキーの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/06/09 10:47 UTC 版)

平面 R² の原点に関して対称な凸集合が2²より大きい面積をもつならば、原点とは異なる整数点をもつ。

ミンコフスキーの定理（英: Minkowski's theorem）は凸体の中の格子点の存在に関する定理で、原点に関して対称な凸集合は体積が十分大きいとき、必ず原点以外の格子点を有することを主張している。ヘルマン・ミンコフスキーによって証明され、二次形式の研究に用いられた。 凸体と格子点の関係に関する研究は数の幾何学へと発展し、二次形式のほか、代数体の単数やイデアル類群の性質の研究、ディオファントス近似など数論の様々な領域に応用されている。

内容

L を R ⁿ 上の格子とし、 d (L) を L に対応する行列の行列式とする。 Rⁿ 内の、原点に関して対称で体積が ${\displaystyle 2^{n}d(L)}$

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