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ローブ空間

(Loeb space から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/09 22:40 UTC 版)

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数学におけるローブ空間（英: Loeb space）は超準解析に基づきピーター・A・ローブ（英語版）（1975）によって導入された測度空間の一種である。

構成

ローブの構成では、はじめに内的集合体 ${\mathcal {A}}$ から超準実数 ${}^{\ast }\mathbb {R}$ への内的有限加法的測度 $\nu$ を考える。 $\mu$ を $\nu$ の標準部を与える写像と定義することで、 $\mu$ は ${\mathcal {A}}$ から拡張実数 $\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ への有限加法的測度となる。たとえ ${\mathcal {A}}$ が超準的な σ-代数だとしても、 ${\mathcal {A}}$ は一般には可算和で閉じないので、通常の意味でのσ-代数になるとは限らない。その代わりに、代数 ${\mathcal {A}}$ は「 ${\mathcal {A}}$ の元が ${\mathcal {A}}$ の元の可算族の和集合であるならば、その集合は実際にはその族の有限個の元の和集合である」という性質を持ち、したがってとくに、 ${\mathcal {A}}$ から拡張実数へのいかなる有限加法的写像（例えば $\mu$ ）も自動的に可算加法的となる。いま ${\mathcal {M}}$ を ${\mathcal {A}}$ で生成されるσ-代数とする。カラテオドリの拡張定理より、 ${\mathcal {A}}$ 上の測度 $\mu$ は ${\mathcal {M}}$ 上の可算加法的測度に拡張される。これをローブ測度と呼ぶ。これをさらに完備化したものもローブ測度と呼ぶ。

例

$\Omega$ を超有限集合とし、 ${\mathcal {A}}={}^{\ast }{\mathcal {P}}(\Omega )$ を $\Omega$ の内的部分集合全体の成す集合（＊冪集合）とする。このとき、内的な有限加法的確率測度（数え上げ測度） $\mu \colon {\mathcal {A}}\to {}^{\ast }[0,1]$ が

\mu (A):=|A|/|\Omega |

で定まる。これをもとに作られたローブ測度を $L(\mu )$ で表す。このとき $(\Omega ,{\mathcal {M}},L(\mu ))$ は確率空間を成す。

いま $\Omega$ として $\{i/N\mid i=0,1,\ldots ,N\}$ なる超有限集合を考える。ここで $N$ は無限大超自然数である。また $\mathrm {st} \colon \Omega \to \mathbb {R}$ を標準部関数（有限超実数をそれと無限に近い実数に写す）とする。このとき $A\subseteq [0,1]$ がルベーグ可測であることと、 $\mathrm {st} ^{-1}(A)\subseteq \Omega$ がローブ可測であることとは同値であり、

\lambda (A)=L(\mu )(\mathrm {st} ^{-1}(A))

が成り立つ。ここで左辺の $\lambda$ はルベーグ測度である。

参考文献

Cutland, Nigel J. (2000), Loeb measures in practice: recent advances, Lecture Notes in Mathematics, 1751, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/b76881, ISBN 978-3-540-41384-4, MR 1810844
Goldblatt, Robert (1998), Lectures on the hyperreals, Graduate Texts in Mathematics, 188, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0615-6, ISBN 978-0-387-98464-3, MR 1643950
Loeb, Peter A. (1975). “Conversion from nonstandard to standard measure spaces and applications in probability theory”. Transactions of the American Mathematical Society 211: 113–22. doi:10.2307/1997222. ISSN 0002-9947. JSTOR 1997222. MR 0390154.