Josephus problem

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ヨセフスの問題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/04/19 17:29 UTC 版)

ヨセフスの問題（ヨセフスのもんだい、英: Josephus problem）は、数論的な問題であるが、ストーリー仕立であるといった点は数学パズル的でもある。ジョセファスの問題とも。アプローチにもバリエーションがある。

${\displaystyle n}$

ヨセフスの問題は、ヘゲシッポスを名乗った人物（便宜上偽ヘゲシッポス（英語版）と呼ばれる）^[1]が紀元370年ごろに『ユダヤ戦記』（フラウィウス・ヨセフス）をもとに書いた次のような問題が起源とされている。

ユダヤ人がローマに反抗して独立戦争を起こしたときのこと、ユダヤ側の総司令官ヨセフスは、ヨタパタの町に籠城したが、ローマ軍に包囲され46日で陥落した。同志40人と洞穴に逃れたが食料も尽きてきた。衆議は降伏を拒否し自決することで決着したが、ヨセフスと彼の友人の2人は何とか生きのびたいと思っていた。いよいよ集団自決をする段になって、ヨセフスはある方法を提案した。それは、全員を円形に並べ、3番目に位置する者が他の同志に殺してもらい、これを繰り返す。最後の一人は自殺をするというものであった。この提案にみんなが賛成したので、ヨセフスと友人は16番目と31番目に位置して助かった。

この話はヨセフスの『ユダヤ戦記』を見ると、「ヨセフスの問題」方式をとったこと以外はそのままだという^[2]。

トルコ人とキリスト教徒の問題

17世紀ごろの書による。これも「ヨセフスの問題」とよばれることが多い。

「あるとき、キリスト教徒15人と異教徒であるトルコ人15人の乗る船が難破した。積荷を捨てて船を軽くしたが、まだ危険であった。ここで、船長は、15人は犠牲となって海に飛び込んでほしいといい、乗客を次のように輪に並べた。まず、キリスト教徒13人、トルコ人15人を環状に並べ、船長が数えて9人目ごとに海へ身を投じることとした。そして、うまく並べキリスト教徒全員を助けた。」

日本での「ままこ立て」

日本では、同様な話を、「継子算法」とか「ままこ立て」と呼んでいる。室町時代の本の中に、鎌倉末期に編纂したものと考えられている『吾妻鏡』をもとに、「西行法師が、源頼朝からもらった銀の眠り猫を、頼朝邸の門前で遊んでいた子に『継子算法』の要領であげてしまった」と載っている。『徒然草』（兼好法師）や、『塵劫記』（吉田光由）にあるほか、関孝和も研究したことが伝わっている。考案者は不明。

解法

まず、${\displaystyle k=2}$

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