積分スケールとは？わかりやすく解説

積分スケール (せきぶんスケール、英語: Integral scale)は、エネルギー保有領域に対応する乱流の最大渦の長さスケールを表し、乱流の速度変動の自己相関関数から求めることができる。乱流運動を特徴付ける長さスケールとして積分スケール $l_{e}$ 、テイラーマイクロスケール $\lambda$ 、及び、コルモゴロフスケール $\eta$ があるが、それぞれの関係は一般に、 $l_{e}>\lambda >\eta$ であることが知られている。

定義　

積分スケール $l_{e}$ の厳密な定義は以下のように表される。

$l_{e}={\frac {\pi }{2{\overline {u^{2}}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {E(k)}{k}}dk$

ここで、 ${\overline {u^{2}}}$ は流体速度のレイノルズ平均値からの変動の二乗平均平方根 (root mean square RMS) であり、速度変動のRMS値あるいは変動強度などと呼ばれる。 $k$ は波数である。 $E(k)$ は速度変動の3次元エネルギースペクトルである。

導出

縦速度相関関数 $U_{L}$ を以下のように定義する。

$U_{L}(r)={\overline {u_{L}(x+r)u_{r}(x)}}$

積分スケール $l_{e}$ は以下に示すように、縦速度相関関数 $U_{L}$ の積分で定義される。ここで、 $r$ は相対位置を表す。

$l_{e}={\frac {1}{U_{L}(0)}}\int _{0}^{\infty }U_{L}(r)dr$

次に縦速度相関関数 $U_{L}$ に対して、フーリエ逆変換を用いると

$U_{L}(r)=\int _{-\infty }^{\infty }E_{\parallel }(k_{1})e^{ik_{1}r}dr$

ここで、 $k_{1}$ は波数を示し、 $E_{\parallel }$ は1次元縦エネルギースペクトル関数であり、

$E_{\parallel }={\frac {1}{2}}\int _{k_{1}}^{\infty }{\frac {E(k)}{k}}\left(1-{\frac {k_{1}^{2}}{k^{2}}}\right)dk$

である。これらを用いて縦速度相関関数 $U_{L}$ の積分で定義された $l_{e}$ を変形すると、

$l_{e}={\frac {\pi }{2{\overline {u^{2}}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {E(k)}{k}}dk$

が得られる。

他のスケールとの関係

等方性乱流の理論から、積分スケールとその他の乱流特性長さスケールは、次のように見積もることができる。

${\frac {l_{e}}{\eta }}\thickapprox Re^{\frac {3}{4}}$

${\frac {l_{e}}{\lambda }}=Re^{\frac {1}{2}}$

レイノルズ数 $Re$ は、エネルギー保有領域の代表的長さ $l_{0}$ 、代表的な速度変動の大きさ $v_{0}$ 、動粘性係数 $\nu$ を用いて

$Re={\frac {v_{0}l_{0}}{\nu }}$

と表される。各特性長さスケール間の関係式から解るように、レイノルズ数の増加とともに、各長さスケールの比は大きくなる。

エネルギー散逸率との関係

大スケールの運動と散逸率の関係を決定するために、「大きな渦から小さな渦へのエネルギー供給率は大きな渦の時間スケールの逆数に比例する」という仮定をする。大スケールの渦が持つ単位質量当たりの運動エネルギーは、おおよそ $u^{2}$ で、そのうち小スケールへ供給されるエネルギーの割合は ${\frac {u}{l_{e}}}$ に比例する。したがって、大スケールから小スケールへの供給量は単位時間当たり、 $u^{2}\cdot {\frac {u}{l_{e}}}={\frac {u^{3}}{l_{e}}}$ となる。小スケールでは受け取ったエネルギー散逸率 $\epsilon$ で散逸するが、散逸量が受け取るエネルギー供給量に等しいとすると