フィボナッチ多項式

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フィボナッチ多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/24 02:37 UTC 版)

数学におけるフィボナッチ多項式（フィボナッチたこうしき、英: Fibonacci polynomials）とは、フィボナッチ数の一般化として見られるある多項式列のことを言う。同様にリュカ数の一般化として得られる多項式列のことはリュカ数（Lucas polynomials）と言う。

定義

フィボナッチ多項式は、次の漸化式より得られる：

$F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n=0\\1,&{\mbox{if }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2\end{cases}}$

フィボナッチ多項式の係数は、パスカルの三角形の「浅い」対角（赤線）を読むことで求められる。それら係数の和は、フィボナッチ数である。

F_n(x) における x^k の係数を F(n,k) と表す。すなわち

${\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}F(n,k)x^{k},\,}$

とする。このとき F(n,k) は、 2 × 1 のドミノとちょうど k 個の 1 × 1 の正方形を使って、n−1 × 1 の長方形を埋める方法の数に等しい^[1]。また同値であるが、F(n,k) は、1 をちょうど k 回使って、1 と 2 のみからなる順序付の和で n−1 を書く方法の数に等しい。例えば F(6,3)=4 であるが、これ 1 をちょうど 3 回使って、1 と 2 のみからなる順序付の和で 6-1 = 5 を書く方法 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1 の数 4 に等しい。そのような和で用いられる 1 と 2 の数を数えることで、F(n,k) は二項係数

${\displaystyle F(n,k)={\binom {\tfrac {n+k-1}{2}}{k}}}$

に等しい。ここで n と k は異なるパリティ（奇偶性）を持つ。このことから、右図のようにパスカルの三角形からフィボナッチ多項式の係数を求めることが出来る。

注釈

1. ^ ^{a b} Benjamin & Quinn p. 141
2. ^ Benjamin & Quinn p. 142
3. ^ Weisstein, Eric W. "Fibonacci Polynomial". MathWorld (英語).
4. ^ ^{a b c} Springer

• Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003). “§9.4 Fibonacci and Lucas Polynomial”. Proofs that Really Count. MAA. p. 141. ISBN 0-88385-333-7 
• Philippou, Andreas N. (2001), "Fibonacci polynomials", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
• Philippou, Andreas N. (2001), "Lucas polynomials", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
• Weisstein, Eric W. "Lucas Polynomial". MathWorld (英語).

参考文献

• Hoggatt, V. E.; Bicknell, Marjorie (1973). “Roots of Fibonacci polynomials.”. Fibonacci Quarterly 11: 271–274. ISSN 0015-0517. MR0332645. 
• Hoggatt, V. E.; Long, Calvin T. (1974). “Divisibility properties of generalized Fibonacci Polynomials”. Fibonacci Quarterly 12: 113. MR0352034. 
• Ricci, Paolo Emilio (1995). “Generalized Lucas polynomials and Fibonacci polynomials”. Rivista di Matematica della Università di Parma. V. Ser. 4: 137–146. MR1395332. 
• Yuan, Yi; Zhang, Wenpeng (2002). “Some identities involving the Fibonacci Polynomials”. Fibonacci Quarterly 40 (4): 314. MR1920571. 
• Cigler, Johann (2003). “q-Fibonacci polynomials”. Fibonacci Quarterly (41): 31–40. MR1962279. 

外部リンク

• Sloane, N.J.A. (ed.). "Sequence A162515 (Triangle of coefficients of polynomials defined by Binet form...)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 2021年3月24日閲覧。
• Sloane, N.J.A. (ed.). "Sequence A011973 (Triangle of coefficients of Fibonacci polynomials.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 2021年3月24日閲覧。