場の量子論 におけるファインマンのスラッシュ記法 （ファインマンのスラッシュきほう、Feynman slash notation ）[1] ディラック場 の研究においてファインマン によって導入された、4元ベクトル [2] ガンマ行列 γ の縮約を表す記法:
A
/
≡
γ
μ
A
μ
=
γ
μ
A
μ
{\displaystyle {A\!\!\!/}\ \equiv \gamma ^{\mu }A_{\mu }=\gamma _{\mu }A^{\mu }}
ここで Aμ は共変ベクトル 、Aμ は反変ベクトル 、またアインシュタインの縮約記法 を用いている。
A
/
{\displaystyle {A\!\!\!/}}
恒等式 ガンマ行列 の反交換関係 {γμ , γν } = 2gμν を用いることで、任意のベクトル a , b について次の恒等式が成り立つ:
a
/
a
/
≡
a
μ
a
μ
⋅
I
4
=
a
2
⋅
I
4
a
/
b
/
+
b
/
a
/
≡
2
a
⋅
b
⋅
I
4
{\displaystyle {\begin{aligned}{a\!\!\!/}{a\!\!\!/}&\equiv a^{\mu }a_{\mu }\cdot I_{4}=a^{2}\cdot I_{4}\\{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}+{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}&\equiv 2a\cdot b\cdot I_{4}\,\end{aligned}}}
ここで I 4
特に
∂
/
2
≡
∂
2
⋅
I
4
{\displaystyle {\partial \!\!\!/}^{2}\equiv \partial ^{2}\cdot I_{4}}
以下の恒等式はガンマ行列の性質 から計量テンソル と内積 を置き換えることで直接的に得られる。例えば
tr
(
a
/
b
/
)
≡
4
a
⋅
b
tr
(
a
/
b
/
c
/
d
/
)
≡
4
[
(
a
⋅
b
)
(
c
⋅
d
)
−
(
a
⋅
c
)
(
b
⋅
d
)
+
(
a
⋅
d
)
(
b
⋅
c
)
]
tr
(
γ
5
a
/
b
/
c
/
d
/
)
≡
4
i
ϵ
μ
ν
λ
σ
a
μ
b
ν
c
λ
d
σ
γ
μ
a
/
γ
μ
≡
−
2
a
/
γ
μ
a
/
b
/
γ
μ
≡
4
a
⋅
b
⋅
I
4
γ
μ
a
/
b
/
c
/
γ
μ
≡
−
2
c
/
b
/
a
/
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{b\!\!\!/})&\equiv 4a\cdot b\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/})&\equiv 4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]\\\operatorname {tr} (\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/})&\equiv 4i\epsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\lambda }d^{\sigma }\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&\equiv -2{a\!\!\!/}\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&\equiv 4a\cdot b\cdot I_{4}\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&\equiv -2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}\\\end{aligned}}}
ここで εμνλσ レヴィ=チヴィタの完全反対称テンソル 。
4元運動量 ディラック方程式 を用いて散乱断面積 を解くときに、4元運動量 についてスラッシュ記法を用いる: ガンマ行列は次のディラック表現を用いると
γ
0
=
(
I
0
0
−
I
)
,
γ
i
=
(
0
σ
i
−
σ
i
0
)
{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}}}
ここで σ パウリ行列 。また4元運動量の定義:
p
μ
=
(
E
,
−
p
x
,
−
p
y
,
−
p
z
)
{\displaystyle p_{\mu }=\left(E,-p_{x},-p_{y},-p_{z}\right)}
により、次を得る。
p
/
=
γ
μ
p
μ
=
γ
0
p
0
+
γ
i
p
i
=
[
p
0
0
0
−
p
0
]
+
[
0
σ
i
p
i
−
σ
i
p
i
0
]
=
[
E
−
σ
⋅
p
→
σ
⋅
p
→
−
E
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{p\!\!/}&=\gamma ^{\mu }p_{\mu }=\gamma ^{0}p_{0}+\gamma ^{i}p_{i}\\&={\begin{bmatrix}p_{0}&0\\0&-p_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{i}p_{i}\\-\sigma ^{i}p_{i}&0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}E&-\sigma \cdot {\vec {p}}\\\sigma \cdot {\vec {p}}&-E\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
同様の結果は、ワイル表現のような他の表現を用いても得られる。
脚注
^ 「ディラック・スラッシュ」の記法と呼ばれることもある。例えば Weinberg, Steven (1995), The Quantum Theory of Fields 1 , Cambridge University Press, p. 358 (380 in polish edition), ISBN 0-521-55001-7 , https://books.google.com/books?id=3ws6RJzqisQC&lpg=PA358&dq=%22Dirac%20Slash%22&pg=PA358#v=onepage&q&f=false
^ 実際は4元ベクトルに限らず、時空間が d 次元であれば d 元ベクトルに対し成り立つ。このときガンマ行列は γ0 γ d −1d 個の行列の組である。
参考文献 Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2 関連項目 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{b\!\!\!/})&\equiv 4a\cdot b\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/})&\equiv 4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]\\\operatorname {tr} (\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/})&\equiv 4i\epsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\lambda }d^{\sigma }\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&\equiv -2{a\!\!\!/}\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&\equiv 4a\cdot b\cdot I_{4}\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&\equiv -2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7909275428086b19918ecc46fff6076f97560078)
