FLRW 方程式 と状態方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/05 02:06 UTC 版)
「状態方程式 (宇宙論)」の記事における「FLRW 方程式 と状態方程式」の解説
状態方程式を、完全流体で満たされた等方的な宇宙の進化を説明するフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量に適用する。 a {\displaystyle \!a} が膨張因子である場合は、 ρ ∝ a − 3 ( 1 + w ) . {\displaystyle \rho \propto a^{-3(1+w)}.} を満たす。流体が平坦な宇宙で支配的な物質である場合は、 a ∝ t 2 3 ( 1 + w ) , {\displaystyle a\propto t^{\frac {2}{3(1+w)}},} である。ここで、 t {\displaystyle \!t} は固有時である。 一般に、加速のフリードマン方程式は、 3 a ¨ a = Λ − 4 π G ( ρ + 3 p ) {\displaystyle 3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda -4\pi G(\rho +3p)} ここで、 Λ {\displaystyle \!\Lambda } は宇宙定数、 G {\displaystyle \!G} は万有引力定数、および a ¨ {\displaystyle {\ddot {a}}} は膨張因子の固有時による2階微分である。 （有効といえるような）エネルギー密度と圧力を定義すると、 ρ ′ ≡ ρ + Λ 8 π G {\displaystyle \rho ^{\prime }\equiv \rho +{\frac {\Lambda }{8\pi G}}} p ′ ≡ p − Λ 8 π G {\displaystyle p^{\prime }\equiv p-{\frac {\Lambda }{8\pi G}}} また、 p ′ = w ′ ρ ′ {\displaystyle p^{\prime }=w^{\prime }\rho ^{\prime }} と置けば、加速を表す方程式は、 a ¨ a = − 4 3 π G ( ρ ′ + 3 p ′ ) = − 4 3 π G ( 1 + 3 w ′ ) ρ ′ {\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4}{3}}\pi G\left(\rho ^{\prime }+3p^{\prime }\right)=-{\frac {4}{3}}\pi G(1+3w^{\prime })\rho ^{\prime }} のように書くことができる。
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