ダランベール演算子

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ダランベール演算子

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ダランベール演算子 (ダランベールえんざんし、英: d'Alembert operator) とは、物理学の特殊相対性理論、電磁気学、波動論で用いられる演算子（作用素）であり、ラプラス演算子をミンコフスキー空間に適用したものである。ダランベール作用素、ダランベルシアン (d'Alembertian ) あるいは wave operator（波動演算子）と呼ばれることもあり、一般に四角い箱のような記号 □ (⧠^{[注釈 1]}) で表される。この名称はフランスの数学者・物理学者ジャン・ル・ロン・ダランベール (Jean Le Rond d'Alembert) の名に由来する。

定義

標準座標系 (ct, x, y, z) で表されるミンコフスキー空間において、ダランベール演算子は次の形で定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Box &:=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=g_{\mu \nu }\partial ^{\nu }\partial ^{\mu }\\&={\frac {\partial ^{2}}{\partial (ct)^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\&={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta \end{aligned}}}$