7. 無限公理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/08 15:26 UTC 版)
「ツェルメロ＝フレンケル集合論」の記事における「7. 無限公理」の解説
詳細は「無限公理」を参照 w {\displaystyle w} を何らかの集合として、 S ( w ) {\displaystyle S(w)} を w ∪ { w } {\displaystyle w\cup \{w\}} の省略形とする（対の公理で x = y = w {\displaystyle x=y=w} とすると、集合 z は { w } {\displaystyle \{w\}} となり、 { w } {\displaystyle \{w\}} は有効な集合であるとみなせる）。すると、公理的に定義された空集合 ∅ {\displaystyle \varnothing } を含む集合 X が存在し、集合 y が X の元となるならば S ( y ) {\displaystyle S(y)} も X の元となる。 ∃ X [ ∃ e ( ∀ z ¬ ( z ∈ e ) ) ∧ e ∈ X ∧ ∀ y ( y ∈ X ⇒ S ( y ) ∈ X ) ] . {\displaystyle \exists X\left[\exists e(\forall z\,\neg (z\in e))\land e\in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].} 平たく言えば、無限に多くの元を持つ集合 X が存在する。 （ただし、同じ元が複数あると、元の列が集合内の有限な長さでループするため、元がすべて異なることを確認する必要がある。正則性公理によってすべての元が異なることが保証される。 ）無限公理を満たす最小の集合 X は、自然数の集合 N {\displaystyle \mathbb {N} } とみなすこともできるフォン・ノイマン順序数 ω である。
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