2つの交差する球の和集合と交差部の体積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/03 14:40 UTC 版)
「球冠」の記事における「2つの交差する球の和集合と交差部の体積」の解説
半径 r 1 {\displaystyle r_{1}} と r 2 {\displaystyle r_{2}} の球が交差したときの和集合の体積は、 V = V ( 1 ) − V ( 2 ) , {\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}\,,} ここで V ( 1 ) = 4 π 3 r 1 3 + 4 π 3 r 2 3 {\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}} は2つの独立した球の体積の合計で V ( 2 ) = π h 1 2 3 ( 3 r 1 − h 1 ) + π h 2 2 3 ( 3 r 2 − h 2 ) {\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})} は交差を作り出す2つの球冠の体積の合計。 d ≤ r 1 + r 2 {\displaystyle d\leq r_{1}+r_{2}} が2つの球の中心間の距離であるとき、変数 h 1 {\displaystyle h_{1}} と h 2 {\displaystyle h_{2}} を消すと V ( 2 ) = π 12 d ( r 1 + r 2 − d ) 2 ( d 2 + 2 d ( r 1 + r 2 ) − 3 ( r 1 − r 2 ) 2 ) . {\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)\,.} となる。
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