1つのボース粒子の生成消滅演算子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/11 21:52 UTC 版)
「ボゴリューボフ変換」の記事における「1つのボース粒子の生成消滅演算子」の解説
次の調和基底でのボゾン的な生成消滅演算子（作用素）の正準交換関係を考える。 [ a ^ , a ^ † ] = 1 . {\displaystyle \left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1~.} 新しい作用素のペアを、 b ^ = u a ^ + v a ^ † , {\displaystyle {\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },} b ^ † = u ∗ a ^ † + v ∗ a ^ {\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }=u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}~} と定義する。ここに後者は前者のエルミート共役である。 スクイーズ変換は、これらの作用素の正準変換である。変換が正準であるような定数 u と v の条件を見つけるため、交換子を計算すると、 [ b ^ , b ^ † ] = [ u a ^ + v a ^ † , u ∗ a ^ † + v ∗ a ^ ] = ⋯ = ( | u | 2 − | v | 2 ) [ a ^ , a ^ † ] {\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^{2}-|v|^{2}\right)\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]} となる。すると、|u|2 − |v|2 = 1 が変換が正準であるための条件であることが分かる。 この条件の形は、双曲線関数の関係式 cosh 2 x − sinh 2 x = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1} を示唆しており、定数 u, v は次のようにパラメトライズできる。 u = e i θ 1 cosh r , {\displaystyle u=e^{i\theta _{1}}\cosh r,} v = e i θ 2 sinh r . {\displaystyle v=e^{i\theta _{2}}\sinh r.}
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