0 < p < 1 の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/11 09:20 UTC 版)
「Lp空間」の記事における「0 < p < 1 の場合」の解説
n > 1 のときの Rn において、0 < p < 1 に対して上と同じ式 ‖ x ‖ p = ( | x 1 | p + | x 2 | p + ⋯ + | x n | p ) 1 / p {\displaystyle \ \|x\|_{p}=(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p})^{1/p}} は絶対斉次的だが劣加法的とはならないため、これを用いたのではノルムを定義できない（F-ノルムにもならない）。そこで式を修正して ‖ x ‖ p := | x 1 | p + | x 2 | p + ⋯ + | x n | p {\displaystyle \|x\|_{p}:=|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}} を定義とすると F-ノルムの意味での「ノルム」が定まる（p-乗ノルム）。この修正によって斉次性は失われるが、これは劣加法的であって、特に d p ( x , y ) := ‖ x − y ‖ p = ∑ i = 1 n | x i − y i | p {\displaystyle d_{p}(x,y):=\|x-y\|_{p}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}} は距離を定める。この距離空間 (Rn, dp) を通例 ℓ pn で表す: l n p := ( R n , d p ) . {\displaystyle l_{n}^{p}:=(\mathbb {R} ^{n},d_{p}).} この距離に関して、原点を中心とする p-単位球 B pn は見掛け上「凹」であるが、距離 dp により Rn 上で定義される位相は、Rn の通常のベクトル空間の位相と同相になるので、ℓ pn は局所凸位相ベクトル空間である。このような定性的な説明を踏まえて、どのくらい ℓ pn の凸性が落ちているかを定量的に測る量 Cp(n) が、p-単位球を定数倍した C⋅B pn が B pn の凸包（これは B 1n と等しい）を含むような最小の定数 C として与えられる。Cp(n) = n1/p−1 が（固定された p < 1 に対し）n が無限大へ向かうとともに発散するという事実は、以下で定義されるような無限次元数列空間 ℓp がもはや局所凸でない事実を反映している。
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