非減衰かつ非強制振動子の解の有界性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 07:47 UTC 版)
「ダフィング方程式」の記事における「非減衰かつ非強制振動子の解の有界性」の解説
非減衰かつ非強制（ γ = δ = 0 {\displaystyle \gamma =\delta =0} ）なダフィング方程式に x ˙ {\displaystyle {\dot {x}}} を掛けると、次の式が得られる： x ˙ ( x ¨ + α x + β x 3 ) = 0 ⇒ d d t [ 1 2 ( x ˙ ) 2 + 1 2 α x 2 + 1 4 β x 4 ] = 0 ⇒ 1 2 ( x ˙ ) 2 + 1 2 α x 2 + 1 4 β x 4 = H . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=0\\&\Rightarrow {\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}=H.\end{aligned}}} ここで H は定数である。H の値は初期条件 x ( 0 ) {\displaystyle x(0)} および x ˙ ( 0 ) {\displaystyle {\dot {x}}(0)} によって決まる。 H に y = x ˙ {\displaystyle y={\dot {x}}} を代入することで、システムはハミルトニアン（英語版）であることが分かる： x ˙ = + ∂ H ∂ y , {\displaystyle {\dot {x}}=+{\frac {\partial H}{\partial y}},} y ˙ = − ∂ H ∂ x {\displaystyle {\dot {y}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}} with H = 1 2 y 2 + 1 2 α x 2 + 1 4 β x 4 . {\displaystyle \quad H={\frac {1}{2}}y^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}.} α {\displaystyle \alpha } と β {\displaystyle \beta } のいずれも正であるなら、解は有界である： | x | ≤ 2 H α {\displaystyle |x|\leq {\sqrt {\frac {2H}{\alpha }}}} and | x ˙ | ≤ 2 H , {\displaystyle |{\dot {x}}|\leq {\sqrt {2H}},} ここでハミルトニアン H は正である。
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