距離からの共線性判定
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/25 17:08 UTC 版)
少なくとも三つの相異なる点からなる集合が一直線 (straight)（英語版）（つまりそれら全ての点が共線）となるための必要十分条件は、その集合の任意の三点 A, B, C に対し、ケイリー–メンガー行列式（英語版）と呼ばれる行列式 det ( 0 d ( A B ) 2 d ( A C ) 2 1 d ( A B ) 2 0 d ( B C ) 2 1 d ( A C ) 2 d ( B C ) 2 0 1 1 1 1 0 ) {\displaystyle \det {\begin{pmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{pmatrix}}} が零となるときに言う（ただし、d(AB) は A と B の間の距離とし、他も同様）。この行列式の値は、ヘロンの公式により、三辺の長さが d(AB), d(BC), d(AC) であるような三角形の面積の平方の −16 倍に等しい。それゆえ、この行列式が零かどうかを見ることは、三角形 ABC の面積が零かどうかを見ることと同じであり、零となるときにこれら頂点は共線となる。 あるいは同じことだが、三点以上の相異なる点からなる集合が共線となるための必要十分条件は、その点集合に属する任意の三点 A, B, C をとって（必要ならば名前を付け替えて）d(AC) が d(AB) と d(BC) のどちらと比べても小さくないようにしたとき、三角不等式 d(AC) ≤ d(AB) + d(BC) において等号が成立することである。
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