自己関手の圏上のモノイドとして
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/22 09:42 UTC 版)
「モナド (圏論)」の記事における「自己関手の圏上のモノイドとして」の解説
圏 C {\displaystyle C} 上の自己関手（C から C への関手）を対象として、それらの間の自然変換を射とする圏を E n d C {\displaystyle \mathrm {End} _{C}} で表す。このとき、自己関手の合成演算 ∘ {\displaystyle \circ } は E n d C {\displaystyle \mathrm {End} _{C}} にモノイダル圏の構造を与える。 E n d C {\displaystyle \mathrm {End} _{C}} において C {\displaystyle C} 上のモナド ( T , η , μ ) {\displaystyle (T,\eta ,\mu )} は、 E n d C {\displaystyle \mathrm {End} _{C}} の対象 T {\displaystyle T} と射 η : 1 C → T {\displaystyle \eta :1_{C}\to T} , μ : T ∘ T → T {\displaystyle \mu :T\circ T\to T} の組であって、 μ ⋅ ( T ∘ μ ) = μ ⋅ ( μ ∘ T ) {\displaystyle \mu \cdot (T\circ \mu )=\mu \cdot (\mu \circ T)} μ ⋅ ( T ∘ η ) = μ ⋅ ( η ∘ T ) = 1 T {\displaystyle \mu \cdot (T\circ \eta )=\mu \cdot (\eta \circ T)=1_{T}} （ここで・は E n d C {\displaystyle \mathrm {End} _{C}} の射の合成を表す）を満たすものと書ける。すなわち、これは E n d C {\displaystyle \mathrm {End} _{C}} のモノイド (Monoid (category theory)) である。
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