立方根の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/20 00:40 UTC 版)
特定の場合において、 x = 6 + 6 + 6 + 6 + ⋯ 3 3 3 3 {\displaystyle x={\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+\cdots }}}}}}}}} のような無限多重立方根もまた同様に有理数を表す。再び、式全体がそれ自身の中に見つけられることを利用して x = 6 + x 3 {\displaystyle x={\sqrt[{3}]{6+x}}} だけを残す。方程式を解いて x = 2 が求まる。より一般に、n > 0 に対して n + n + n + n + ⋯ 3 3 3 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+\cdots }}}}}}}}} は方程式 x3 − x − n = 0 の実根である。特に n = 1 のとき、根はプラスチック数 ρ（約 1.3247）になる。 同じ手順で、任意の n > 0 に対して n − n − n − n − ⋯ 3 3 3 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-\cdots }}}}}}}}} の値を方程式 x3 + x − n = 0 の実根として得ることができる。
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