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直接証明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/20 10:42 UTC 版)

「基底 (線型代数学)」の記事における「直接証明」の解説

定義に忠実に、二つのベクトル (1,1), (−1,2) が線型独立であることと R2 を生成することとを示す。

※この「直接証明」の解説は、「基底 (線型代数学)」の解説の一部です。
「直接証明」を含む「基底 (線型代数学)」の記事については、「基底 (線型代数学)」の概要を参照ください。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/23 02:36 UTC 版)

「1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯」の記事における「直接証明」の解説

他の級数と同様、無限和 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots } は、最初の n 項の和 s n = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ⋯ + 1 2 n {\displaystyle s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}} の、n が無限に大きくなるときの極限として定義される。 sn （上式の両辺）に 2 を乗じることにより、有用な関係性がわかる。 2 s n = 2 2 + 2 4 + 2 8 + 2 16 + ⋯ + 2 2 n = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + ⋯ + 1 2 n − 1 = 1 + s n − 1 2 n {\displaystyle 2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}=1+s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}} 両辺から sn を減じると次のような式になる。 s n = 1 − 1 2 n {\displaystyle s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}} n を無限に大きくすると、sn は1に収束する。

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