ヤングの畳み込み不等式とは？わかりやすく解説

数学におけるヤングの畳み込み不等式（ヤングのたたみこみふとうしき、英: Young's convolution inequality）は、ウィリアム・ヘンリー・ヤング（英語版）に名を因む、ふたつの函数の畳み込みに関する不等式である^[1]。

定理の主張

実解析において、ヤングの畳み込み不等式^[2]^{(Theorem 3.9.4)}は以下のようなものである:

定理 (Young's convolution inequality): $f \in L p (ℝ d), g \in L q (ℝ d)$ で ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1\qquad (1\leq p,q,r\leq \infty )$ が満たされるならば、不等式 $\|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}$ が成り立つ。ここに、左辺の $*$ は畳み込みで、 $L p$ はルベーグ $p$ -乗可積分函数の空間および $\|f\|_{p}:={\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|^{p}{\mathit {dx}}{\Bigr )}^{1/p}$ は $L p$ -ノルムである。

おなじことだが、以下のように述べることもできる:

p, q, r \geq 1

が

{\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}

を満たすならば

\int _{\mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{d}}f(x)g(x-y)h(y){\mathit {dx}}\,{\mathit {dy}}\leq {\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert f\vert ^{p}{\Bigr )}^{1/p}{\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert g\vert ^{q}{\Bigr )}^{1/q}{\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert h\vert ^{r}{\Bigr )}^{1/r}

が成り立つ。

一般化: ヤングの畳み込み不等式は、 $ℝ d$ を単模群 G に取り換えた自然な一般化ができる。 $G$ 上の両側ハール測度を $μ$ とすれば $μ$ に関する積分が定義できて、 $G$ 上の実または複素数値函数 $f, g$ に対して $f*g(x):=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\,{\mathit {d\mu }}(y)$ および $\|f\|_{p}:={\Bigl (}\int _{G}|f(x)|^{p}\,{\mathit {d\mu }}(x){\Bigr )}^{1/p}$ と定めれば、 $f \in L p (G, μ), g \in L q (G, μ)$ に対して、件の不等式 $\|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}$ はそのままの形で成り立つ（もちろん、 ${\textstyle \int _{G\times G}f(x)g(x-y)h(y){\mathit {d\mu }}(x){\mathit {d\mu }}(y)\leq (\int _{G}\vert f\vert ^{p})^{1/p}(\int _{G}\vert g\vert ^{q})^{1/q}(\int _{G}\vert h\vert ^{r})^{1/r}}$ とも書ける）。; 事実として、 $ℝ d$ は局所コンパクトアーベル群（英語版）、したがって単模であり、ルベーグ測度がそのハール測度を与えるから、事実これは先の不等式を一般化するものである。

より厳密な評価

$p, q > 1$ の場合、ヤングの不等式はより強く、適当な定数 $c p,q < 1$ を含む

\|f*g\|_{r}\leq c_{p,q}\|f\|_{p}\|g\|_{q}

の形のより厳密な評価にすることができる^[3]^[4]^[5]。この最適化定数が達成されるとき、函数

f, g

は高次元ガウス函数（英語版）である。

証明

最適化定数 $1$ のヤングの不等式には、初等的な証明がある^[6]。

位相群の不変積分版の証明を以下に示す:

ヘルダーの不等式による一般の場合の証明

$G$ はハール測度 $μ$ を持つ単模群とし、函数 $f, g, h : G \to ℝ$ は非負かつ可積分とする。また、任意の可測集合 $S \subset G$ に対して反転不変性: ${\textstyle \mu (S)=\mu (S^{-1})}$ が成立する（したがって、積分も反転不変）という事実を用いる。