正則関数と対数関数による表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/19 02:08 UTC 版)
「指数積分」の記事における「正則関数と対数関数による表示」の解説
複素関数 Ein(z) を次のように定める。 Ein ( z ) = ∫ 0 z 1 − e − t t d t {\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\int _{0}^{z}{\frac {1-e^{-t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t} これは複素平面全体で正則となり、 Ein ( z ) − E 1 ( z ) − log z = ∫ 0 z 1 − e − t t d t − ∫ z ∞ e − t t d t − ∫ 1 z 1 t d t = ∫ 0 1 1 − e − t t d t − ∫ 1 ∞ e − t t d t = − ∫ 0 ∞ ( log t ) e − t d t = γ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ein} (z)-E_{1}(z)-\log z&=\int _{0}^{z}{\frac {1-e^{-t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t-\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t-\int _{1}^{z}{\frac {1}{t}}\,\operatorname {d} t\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-e^{-t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t-\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t\\&=-\int _{0}^{\infty }(\log t)e^{-t}\,\operatorname {d} \!t\\&=\gamma \end{aligned}}} が成り立つ。ただしγはオイラーの定数である。これにより E1, Ei は E 1 ( z ) = − γ − log z + Ein ( z ) Ei ( z ) = γ + log z − Ein ( − z ) {\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}(z)&=-\gamma -\log z+\operatorname {Ein} (z)\\\operatorname {Ei} (z)&=\gamma +\log z-\operatorname {Ein} (-z)\end{aligned}}} と表され、多価性にまつわる問題を複素対数関数 log z に封じ込めることができる。
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