更新後の共分散行列

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更新後の共分散行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/12 16:55 UTC 版)

「カルマンフィルター」の記事における「更新後の共分散行列」の解説

時間を進めるための予測と更新の手続きのうち、更新が終わったあとの共分散行列 Pk|k をまず求める。上の定義式、 P k | k = c o v ( x k − x ^ k | k ) に、推定値 x ^ k | k の定義を代入。 P k | k = c o v ( x k − ( x ^ k | k − 1 + K k e k ) ) 続いて、観測残差 e k を代入。 P k | k = c o v ( x k − ( x ^ k | k − 1 + K k ( z k − H k x ^ k | k − 1 ) ) ) そして、観測値 z k と真の値の関係を代入。 P k | k = c o v ( x k − ( x ^ k | k − 1 + K k ( H k x k + v k − H k x ^ k | k − 1 ) ) ) 変形して、 P k | k = c o v ( ( I − K k H k ) ( x k − x ^ k | k − 1 ) − K k v k ) 観測誤差 vk は、他の項と相関がないから、 P k | k = c o v ( ( I − K k H k ) ( x k − x ^ k | k − 1 ) ) + c o v ( K k v k ) となり、さらに変形 P k | k = ( I − K k H k ) c o v ( x k − x ^ k | k − 1 ) ( I − K k H k ) T + K k c o v ( v k ) K k T して、前述の不偏量 Pk|k-1 と、観測誤差共分散 Rk を用いて、 P k | k = ( I − K k H k ) P k | k − 1 ( I − K k H k ) T + K k R k K k T を得る。この式は、 Kk がどんな値であっても成立するが、 Kk が、最適カルマンゲインの時は、以下のようにさらに簡略化される。