既知のBBP型計算式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/02 06:54 UTC 版)
「ベイリー＝ボールウェイン＝プラウフの公式」の記事における「既知のBBP型計算式」の解説
BBP以前からよく知られているこの種の最も単純な公式で、函数Pがコンパクトな表記をもたらすものには、次のようなものがある。 ln 10 9 = 1 10 + 1 200 + 1 3 000 + 1 40 000 + 1 500 000 + ⋯ = ∑ k = 1 ∞ 1 10 k ⋅ k = 1 10 ∑ k = 0 ∞ [ 1 10 k ( 1 k + 1 ) ] = 1 10 P ( 1 , 10 , 1 , ( 1 ) ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\frac {10}{9}}&={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{200}}+{\frac {1}{3\ 000}}+{\frac {1}{40\,000}}+{\frac {1}{500\,000}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{k}\cdot k}}={\frac {1}{10}}\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{10^{k}}}\left({\frac {1}{k+1}}\right)\right]\\&={\frac {1}{10}}P{\bigl (}1,10,1,(1){\bigr )},\end{aligned}}} ln 2 = 1 2 + 1 2 ⋅ 2 2 + 1 3 ⋅ 2 3 + 1 4 ⋅ 2 4 + 1 5 ⋅ 2 5 + ⋯ = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k ⋅ k = 1 2 ∑ k = 0 ∞ [ 1 2 k ( 1 k + 1 ) ] = 1 2 P ( 1 , 2 , 1 , ( 1 ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 2^{2}}}+{\frac {1}{3\cdot 2^{3}}}+{\frac {1}{4\cdot 2^{4}}}+{\frac {1}{5\cdot 2^{5}}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}\cdot k}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{2^{k}}}\left({\frac {1}{k+1}}\right)\right]\\&={\frac {1}{2}}P{\bigl (}1,2,1,(1){\bigr )}.\end{aligned}}} （実際、恒等式 ln a a − 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 a k ⋅ k {\displaystyle \ln {\frac {a}{a-1}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{a^{k}\cdot k}}} は a > 1 に対して成り立つ。） プラウフは、逆正接函数の冪級数にも触発された（P表記はbが整数でない場合にも一般化できる）。 arctan 1 b = 1 b − 1 b 3 3 + 1 b 5 5 − 1 b 7 7 + 1 b 9 9 + ⋯ = ∑ k = 1 ∞ [ 1 b k sin k π 2 k ] = 1 b ∑ k = 0 ∞ [ 1 b 4 k ( 1 4 k + 1 + − b − 2 4 k + 3 ) ] = 1 b P ( 1 , b 4 , 4 , ( 1 , 0 , − b − 2 , 0 ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\arctan {\frac {1}{b}}&={\frac {1}{b}}-{\frac {1}{b^{3}3}}+{\frac {1}{b^{5}5}}-{\frac {1}{b^{7}7}}+{\frac {1}{b^{9}9}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{b^{k}}}{\frac {\sin {\frac {k\pi }{2}}}{k}}\right]={\frac {1}{b}}\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{b^{4k}}}\left({\frac {1}{4k+1}}+{\frac {-b^{-2}}{4k+3}}\right)\right]\\&={\frac {1}{b}}P\left(1,b^{4},4,\left(1,0,-b^{-2},0\right)\right).\end{aligned}}}
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