括弧を使った演算子表記
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/03 02:09 UTC 版)
Jonathan Bowersは、まず矢印表記を一般化した、括弧を使った演算子表記を開発した。 a ↑ n b = a { n } b {\displaystyle a\uparrow ^{n}b=a\{n\}b} 例えば、 3 { 6 } 4 = 3 ↑ 6 4 {\displaystyle 3\{6\}4=3\uparrow ^{6}4} である。この表記法は、単に矢印表記を書き換えたに過ぎないが、Bowersは{}を1重から2重に増やすことで、更に拡張した。 a { { 1 } } b = a { a { ⋯ { a { a ⏟ b 個 の a } a } ⋯ } a } a = a ↑ ⋯ ⋯ ↑ ⏟ a ↑ ⋯ ⋯ ↑ ⏟ ⋮ ⏟ a ↑ ⋯ ↑ ⏟ a 本 a 本 a 本 a } b 層 {\displaystyle a\{\{1\}\}b=\underbrace {a\{a\{\cdots \{a\{a} _{b{\text{ 個 の }}a}\}a\}\cdots \}a\}a=\left.{\begin{matrix}a\underbrace {\uparrow \cdots \cdots \uparrow } _{a\underbrace {\uparrow \cdots \cdots \uparrow } _{\underbrace {\vdots } _{a\underbrace {\uparrow \cdots \uparrow } _{a{\text{本}}}a{\text{本}}}}a{\text{本}}}a\end{matrix}}\right\}b{\text{層}}} ここで、bは一番内側から外側までのaの個数である。Bowersはこれを、aのb重膨張と呼んだ。 {{}}の中を増やしていくと、次のようになる。 a { { 2 } } b = a { { 1 } } a { { 1 } } ⋯ { { 1 } } a { { 1 } } a ⏟ b 個 の a {\displaystyle a\{\{2\}\}b=\underbrace {a\{\{1\}\}a\{\{1\}\}\cdots \{\{1\}\}a\{\{1\}\}a} _{b{\text{ 個 の }}a}} a { { 3 } } b = a { { 2 } } a { { 2 } } ⋯ { { 2 } } a { { 2 } } a ⏟ b 個 の a {\displaystyle a\{\{3\}\}b=\underbrace {a\{\{2\}\}a\{\{2\}\}\cdots \{\{2\}\}a\{\{2\}\}a} _{b{\text{ 個 の }}a}} a { { n } } b = a { { n − 1 } } a { { n − 1 } } ⋯ { { n − 1 } } a { { n − 1 } } a ⏟ b 個 の a {\displaystyle a\{\{n\}\}b=\underbrace {a\{\{n-1\}\}a\{\{n-1\}\}\cdots \{\{n-1\}\}a\{\{n-1\}\}a} _{b{\text{ 個 の }}a}} {}を二重から三重にすると、aのb重爆発となる。 a { { { 1 } } } b = a { { a { { ⋯ { { a { { a ⏟ b 個 の a } } a } } ⋯ } } a } } a {\displaystyle a\{\{\{1\}\}\}b=\underbrace {a\{\{a\{\{\cdots \{\{a\{\{a} _{b{\text{ 個 の }}a}\}\}a\}\}\cdots \}\}a\}\}a} a { { { 2 } } } b = a { { { 1 } } } a { { { 1 } } } ⋯ { { { 1 } } } a { { { 1 } } } a ⏟ b 個 の a {\displaystyle a\{\{\{2\}\}\}b=\underbrace {a\{\{\{1\}\}\}a\{\{\{1\}\}\}\cdots \{\{\{1\}\}\}a\{\{\{1\}\}\}a} _{b{\text{ 個 の }}a}} a { { { 3 } } } b = a { { { 2 } } } a { { { 2 } } } ⋯ { { { 2 } } } a { { { 2 } } } a ⏟ b 個 の a {\displaystyle a\{\{\{3\}\}\}b=\underbrace {a\{\{\{2\}\}\}a\{\{\{2\}\}\}\cdots \{\{\{2\}\}\}a\{\{\{2\}\}\}a} _{b{\text{ 個 の }}a}} a { { { n } } } b = a { { { n − 1 } } } a { { { n − 1 } } } ⋯ { { { n − 1 } } } a { { { n − 1 } } } a ⏟ b 個 の a {\displaystyle a\{\{\{n\}\}\}b=\underbrace {a\{\{\{n-1\}\}\}a\{\{\{n-1\}\}\}\cdots \{\{\{n-1\}\}\}a\{\{\{n-1\}\}\}a} _{b{\text{ 個 の }}a}} {}を四重にすると爆轟、五重にするとペントネーションと続く。また、 a { { { ⋯ { { ⏟ d 重 c } } ⋯ } } } b = a { c } d b {\displaystyle a\underbrace {\{\{\{\cdots \{\{} _{d{\text{ 重}}}c\}\}\cdots \}\}\}b=a\{c\}^{d}b} と書いて圧縮することができる。すなわち、 a { c } d b = { 4 ( if . a = b = 2 ) a ↑ c b ( if . d = 1 ) a ( if . b = 1 ) a { a { c } d ( b − 1 ) } d − 1 a ( if . c = 1 ) a { c − 1 } d a { c } d ( b − 1 ) ( others ) {\displaystyle a\{c\}^{d}b={\begin{cases}4&({\text{if}}.a=b=2)\\a\uparrow ^{c}b&({\text{if}}.d=1)\\a&({\text{if}}.b=1)\\a\{a\{c\}^{d}(b-1)\}^{d-1}a&({\text{if}}.c=1)\\a\{c-1\}^{d}a\{c\}^{d}(b-1)&({\text{others}})\end{cases}}} である。
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