ローラン級数

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ローラン級数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/01/16 02:54 UTC 版)

ローラン級数（ローランきゅうすう、英: Laurent series）とは負冪の項も含む形での冪級数としての関数の表示のことである。テイラー級数展開できない複素関数を表示する場合に利用される。ローラン級数の名は、最初の発表が1843年にピエール・アルフォンス・ローランによってなされたことに由来する。ローラン級数の概念自体はそれより先の1841年にカール・ワイエルシュトラスによって発見されていたが公表されなかった。

特定の点 c および閉曲線 γ に関して定義されたローラン級数。 積分路である γ は赤で塗ったアニュラスの内側に載っており、アニュラスの内側で f(z) は正則である

定義

複素関数 f(z) の点 c の周りでの（あるいは点 c を中心とする）ローラン級数は以下で与えられる：

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$

e^−1/x²（黒）およびその近似式 : $\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\,{x^{-2j} \over j!}$