弱-ボレル総和とボレル総和の非等価性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/18 03:04 UTC 版)
「ボレル総和」の記事における「弱-ボレル総和とボレル総和の非等価性」の解説
ある z ∈ C で弱-ボレル総和可能な任意の級数 A(z) は、常に同じ点 z でボレル総和可能である。しかし弱-ボレル総和法では発散し、かつボレル総和可能であるような級数の例を構築できる。次の定理により2つの方法はある条件の下で同値となることが示される。 定理 (Hardy 1992) A(z)を形式的べき級数とし、z ∈ Cを固定する。このとき:（wB）の意味で ∑ a k z k = a ( z ) {\displaystyle \sum a_{k}z^{k}=a(z)} ならば、（B）の意味で ∑ a k z k = a ( z ) {\displaystyle \sum a_{k}z^{k}=a(z)} である。 （B）の意味で ∑ a k z k = a ( z ) {\displaystyle \sum a_{k}z^{k}=a(z)} であり、かつ lim t → ∞ e − t B ( A ) ( t z ) = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{-t}{\mathcal {B}}(A)(tz)=0} であるならば、（wB）の意味で ∑ a k z k = a ( z ) {\displaystyle \sum a_{k}z^{k}=a(z)} である。
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