(3)外積面積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 01:28 UTC 版)
定義は、以下の通りである。 ∫ s ∈ S X ( s ) × d 2 S := ∫ ( u 1 , u 2 ) ∈ I ( X ( φ ( u 1 , u 2 ) ) ) × ( ∂ φ ∂ u 1 × ∂ φ ∂ u 2 ) d u 1 d u 2 {\displaystyle {\int }_{\mathbf {s} \in S}\mathbf {X} (\mathbf {s} )\times {d}^{2}S:={\int }_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}\left(\mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\right)\times \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right)\ d{u}_{1}d{u}_{2}} 本記事では、外積面積分の場合は、 × d 2 S {\displaystyle \times \ {d}^{2}S} のように、面素にの前に、×をつけることにする。 右辺は、 ( u 1 , u 2 ) {\displaystyle ({u}_{1},{u}_{2})} についてのベクトル値関数 X ( φ ( u 1 , u 2 ) ) × ( ∂ φ ∂ u 1 × ∂ φ ∂ u 1 ) {\displaystyle \mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\times \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\right)} を、成分ごとに区間I上で重積分したものを意味する。即ち、(2)との関係でいえば、 ∫ s ∈ S X ( s ) × d 2 S = ∫ s ∈ S X ( s ) × n S | d 2 S | {\displaystyle {\int }_{\mathbf {s} \in S}\mathbf {X} (\mathbf {s} )\times {d}^{2}S={\int }_{\mathbf {s} \in S}\mathbf {X} (\mathbf {s} )\times \mathbf {n} _{S}|{d}^{2}S|} となる。
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