埋め込み (数学)

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埋め込み (数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/10 07:31 UTC 版)

埋め込み（うめこみ、embedding, imbedding）とは、数学的構造間の構造を保つような単射のことである。

トポロジーと幾何学

位相空間論

位相空間論において、埋め込みとは、像の上への同相写像のことである。つまり、位相空間 X と Y の間の単射連続写像 f: X → Y であって、（f(X) には Y の相対位相を入れて）f が X と f(X) の間の同相写像であるようなもののことである。

与えられた空間 X に対し、埋め込み X → Y の存在は X の位相的性質である。これによって2つの位相空間を、一方がある空間に埋め込めて他方はできないならば、区別することができる。

微分トポロジー

微分トポロジーにおいて： M と N を滑らかな多様体とし、f: M → N を滑らかな写像とする。このとき f がはめ込みとは、微分がいたるところ単射であることをいう。埋め込み (embedding)、あるいは滑らかな埋め込み (smooth embedding) は、上に述べた位相的な意味で埋め込みであるような（すなわち像の上への同相写像であるような）単射はめ込みと定義される。

言い換えると、埋め込みは像への微分同相であり、とくに埋め込みの像は部分多様体でなければならない。はめ込みは局所的な埋め込みである（すなわち任意の点 x ∈ M に対し、近傍 x ∈ U ⊂ M が存在して、f: U → N は埋め込みである）。

リーマン幾何学

リーマン幾何学において： (M, g) と (N, h) をリーマン多様体とする。等長埋め込み (isometric embedding) とは、滑らかな埋め込み f: M → N であって計量を保つもの、つまり g は h の f による引き戻しに等しい、すなわち g = f*h であるようなもののことである。明示的には、任意の2つの接ベクトル

$v,w\in T_{x}(M)$ この項目は、数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。