単位距離の個数とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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単位距離の個数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/24 09:50 UTC 版)

「単位距離グラフ」の記事における「単位距離の個数」の解説

mathematicsの未解決問題'n 点のグラフは、最大で何本の辺を持つ単位距離グラフを構成できるか？ Paul Erdős (1946) は、 n 個の点を配置し、単位距離だけ離れた点対をいくつ生成できるか？という問題を考えた。グラフ理論的には、単位距離グラフをどこまで密にできるか？と言いかえられる。超立方体グラフは単位距離を O ( n log ⁡ n ) {\displaystyle O(n\log n)} だけ有し、下界となる。正方形格子状に配置することで、ポール・エルデシュは下界を O ( n 1 + c / log ⁡ log ⁡ n ) , {\displaystyle O(n^{1+c/\log \log n}),} まで改善した。さらに、このような形式で上界を儲けられるかという問題に対して 500 ドルの賞金を用意した(Kuperberg 1992)。現在知られている最も良い上界は、Joel Spencer, Endre Szemerédi, and William Trotter (1984)による、: O ( n 4 / 3 ) {\displaystyle O(n^{4/3})} である。この上界は単位円の隣接する個数としても考えられるため、Szemerédi–Trotter theoremと関連が深い。ハミンググラフ(3,3) はこの上界の1つであり、27 頂点で81辺を持つ。

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