到達不能基数のモデル理論的な二つの特徴付け
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/19 15:42 UTC 版)
「到達不能基数」の記事における「到達不能基数のモデル理論的な二つの特徴付け」の解説
一つ目として、基数κが到達不能であることはκが以下のreflection propertyを満たすことと同値である。: 全ての U ⊂ Vκに対してある α < κ が存在して ( V α , ∈ , U ∩ V α ) {\displaystyle (V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })} が ( V κ , ∈ , U ) {\displaystyle (V_{\kappa },\in ,U)} の初等部分モデルになる(実は、そのようなαの集合はκの中でclubである)。全ての n ≥ 0に対して κ が Π n 0 {\displaystyle \Pi _{n}^{0}} -記述不能 であるというのもこの条件に同値である。 ZFの下で∞がreflection propertyよりいくらか弱い条件を満たすことが証明可能である。ここで、部分構造 (Vα, ∈, U ∩ Vα)は 式の有限集合に関して'初等的'であることのみ要求される。 結局、この弱化の理由はモデル理論的充足関係 ⊨ {\displaystyle \models } は定義できるが、真理性は定義できないことによる。タルスキの定理による。 二つ目は、ZFCの下でκが到達不能基数であることと(Vκ, ∈)が二階述語論理のZFCのモデルであることが同値であることが証明できる。 この場合、上のreflection propertyによって、あるα < κが存在して(Vα, ∈)が一階述語論理のZFCの標準モデルとなる。だから到達不能基数の存在はZFCの標準モデルの存在より強い仮定である。
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