全点での連続性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
詳細は「連続写像」を参照 関数 f : ( X , O X ) → ( Y , O Y ) {\displaystyle f~:~(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} が定義域上の任意の点x∈Xで連続であるとき、fは定義域の全点で連続、あるいは単に連続であるという。fの連続性は以下のようにも特徴づける事ができる。 定理 (連続性の特徴づけ) ― f : ( X , O X ) → ( Y , O Y ) {\displaystyle f~:~(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} を位相空間から位相空間への関数とするとき、以下は同値である。 fは連続である。 開集合の逆像は開集合である。すなわち ∀ O ∈ O Y : f − 1 ( O ) ∈ O X {\displaystyle \forall O\in {\mathcal {O}}_{Y}~:~f^{-1}(O)\in {\mathcal {O}}_{X}} である。 閉集合の逆像は閉集合である。すなわち ∀ F ∈ F Y : f − 1 ( F ) ∈ F X {\displaystyle \forall F\in {\mathcal {F}}_{Y}~:~f^{-1}(F)\in {\mathcal {F}}_{X}} である。 任意のA⊂Xに対し f ( A ¯ ) ⊂ f ( A ) ¯ {\displaystyle f({\bar {A}})\subset {\overline {f(A)}}} 。
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