倍角・三倍角・半角の公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/01 05:45 UTC 版)
「三角関数の公式の一覧」の記事における「倍角・三倍角・半角の公式」の解説
以下の式は加法定理などから容易に導くことができる。 倍角 sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 tan θ 1 + tan 2 θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2\theta &=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}} cos 2 θ = cos 2 θ − sin 2 θ = 2 cos 2 θ − 1 = 1 − 2 sin 2 θ = 1 − tan 2 θ 1 + tan 2 θ {\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2\theta &=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}} tan 2 θ = 2 tan θ 1 − tan 2 θ {\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\!} cot 2 θ = cot 2 θ − 1 2 cot θ {\displaystyle \cot 2\theta ={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}\!} 三倍角 sin 3 θ = 3 cos 2 θ sin θ − sin 3 θ = 3 sin θ − 4 sin 3 θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin 3\theta &=3\cos ^{2}\theta \sin \theta -\sin ^{3}\theta \\&=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \end{aligned}}} cos 3 θ = cos 3 θ − 3 sin 2 θ cos θ = 4 cos 3 θ − 3 cos θ {\displaystyle {\begin{aligned}\cos 3\theta &=\cos ^{3}\theta -3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}} tan 3 θ = 3 tan θ − tan 3 θ 1 − 3 tan 2 θ {\displaystyle \tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}\!} cot 3 θ = 3 cot θ − cot 3 θ 1 − 3 cot 2 θ {\displaystyle \cot 3\theta ={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}\!} 半角 sin θ 2 = ± 1 − cos θ 2 {\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}} cos θ 2 = ± 1 + cos θ 2 {\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}} tan θ 2 = csc θ − cot θ = ± 1 − cos θ 1 + cos θ = sin θ 1 + cos θ = 1 − cos θ sin θ tan η + θ 2 = sin η + sin θ cos η + cos θ tan ( θ 2 + π 4 ) = sec θ + tan θ 1 − sin θ 1 + sin θ = | 1 − tan θ 2 | | 1 + tan θ 2 | {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[10pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[8pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[8pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\\[8pt]\end{aligned}}} cot θ 2 = csc θ + cot θ = ± 1 + cos θ 1 − cos θ = sin θ 1 − cos θ = 1 + cos θ sin θ {\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}} 正弦関数と余弦関数の三倍角の公式は、元の関数の三次方程式で表すことができる。従って、三次方程式の解を求めることでそれらの三角関数の値を得ることができる。 幾何学的には、三倍角の公式を経由し三角関数の値を求めることは角の三等分問題に相当する。この問題は、定規とコンパスを用いた解法が特別な角を除いて存在しないことが知られている。 方程式 x3 − .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}3x + d/4 = 0（正弦関数ならば x = sinθ, d = sin(3θ) とする）の判別式は正なのでこの方程式は3つの実数解を持つ。
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