例: 球
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/27 00:26 UTC 版)
例として、半径 r の中心を原点とする R3 上の球を考える。この球は球面座標系を用いて次の写像で表現される。 ϕ ( u 1 , u 2 ) = ( r cos u 1 sin u 2 , r sin u 1 sin u 2 , r cos u 2 ) {\displaystyle \phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_{2})} したがって、 g = ( r 2 sin 2 u 2 0 0 r 2 ) {\displaystyle g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}}} となり、面積要素は次のように得られる。 ω = det g d u 1 d u 2 = r 2 sin u 2 d u 1 d u 2 {\displaystyle \omega ={\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}}
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