三角法による定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/22 05:41 UTC 版)
「ヤコビの楕円関数」の記事における「三角法による定義」の解説
r = 1 の単位円上で cos θ , sin θ {\displaystyle \cos \theta ,\sin \theta } を定義できたのと同様に、ヤコビの楕円関数は、a = 1 の単位楕円上で定義できる。 x 2 + y 2 b 2 = 1 , b > 1 , m = 1 − 1 b 2 , 0 < m < 1 , x = r cos θ , y = r sin θ {\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b>1,\\&m=1-{\frac {1}{b^{2}}},\quad 0<m<1,\\&x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta \end{aligned}}} r ( θ , m ) = 1 1 − m sin 2 θ {\displaystyle r(\theta ,m)={\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}} である。 楕円に沿った弧長 u を計算すると、 u = u ( φ , m ) = ∫ 0 φ r ( θ , m ) d θ {\displaystyle u=u(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }r(\theta ,m)\,d\theta } となる。ここで、 φ = a r c c o s ( x ) {\displaystyle \varphi =arccos(x)} である。単位円でおなじみの関係式 cos θ = x , sin θ = y {\displaystyle \cos \theta =x,\quad \sin \theta =y} cn ( u , m ) = x , sn ( u , m ) = y b {\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=x,\quad \operatorname {sn} (u,m)={\frac {y}{b}}} を定義とする。 さらに、 dn ( u , m ) = 1 r ( φ , m ) {\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {1}{r(\varphi ,m)}}} と定める。
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