ヴァイツゼッカー運動エネルギー汎函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/14 02:47 UTC 版)
「汎函数微分」の記事における「ヴァイツゼッカー運動エネルギー汎函数」の解説
1935年にフォン・ヴァイツゼッカーは、分子の電子雲についてより適切になるように、トマス-フェルミ運動エネルギー汎函数に勾配を加味して修正した T W [ ρ ] = 1 8 ∫ ∇ ρ ( r ) ⋅ ∇ ρ ( r ) ρ ( r ) d r = 1 8 ∫ ( ∇ ρ ( r ) ) 2 ρ ( r ) d r = ∫ t [ ρ ( r ) , ∇ ρ ( r ) ] d r {\displaystyle T_{\mathrm {W} }[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho ({\boldsymbol {r}})\cdot \nabla \rho ({\boldsymbol {r}})}{\rho ({\boldsymbol {r}})}}d{\boldsymbol {r}}={\frac {1}{8}}\int {\frac {(\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))^{2}}{\rho ({\boldsymbol {r}})}}\,d{\boldsymbol {r}}=\int t[\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}})]d{\boldsymbol {r}}} を用いることを提唱した。そうすると、この TW[ρ] は電荷密度 ρ およびその勾配 ∇ρ にも依存するので、 δ T W [ ρ ] δ ρ = ∂ t ∂ ρ − ∇ ⋅ ∂ t ∂ ( ∇ ρ ) = − 1 8 ( ∇ ρ ( r ) ) 2 ρ ( r ) 2 − ∇ ⋅ ( 1 4 ∇ ρ ( r ) ρ ( r ) ) = 1 8 ( ∇ ρ ( r ) ) 2 ρ ( r ) 2 − 1 4 ∇ 2 ρ ( r ) ρ ( r ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {W} }[\rho ]}{\delta \rho }}&={\frac {\partial t}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial t}{\partial (\nabla \rho )}}\\&=-{\frac {1}{8}}{\frac {(\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))^{2}}{\rho ({\boldsymbol {r}})^{2}}}-\nabla \cdot \left({\frac {1}{4}}{\frac {\nabla \rho ({\boldsymbol {r}})}{\rho ({\boldsymbol {r}})}}\right)\\&={\frac {1}{8}}{\frac {(\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))^{2}}{\rho ({\boldsymbol {r}})^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho ({\boldsymbol {r}})}{\rho ({\boldsymbol {r}})}}\end{aligned}}} となる。
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