ユークリッドの互除法によるスツルム列の生成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/12/28 13:58 UTC 版)
「スツルムの定理」の記事における「ユークリッドの互除法によるスツルム列の生成」の解説
上の条件を満足するスツルム列の一つとして、多項式 f ( x ) {\displaystyle f(x)} とその微分 f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} について f 0 ( x ) = f ( x ) {\displaystyle f_{0}(x)=f(x)} f 1 ( x ) = f ′ ( x ) {\displaystyle f_{1}(x)=f'(x)} f 0 ( x ) = g 1 ( x ) f 1 ( x ) − f 2 ( x ) f 1 ( x ) = g 2 ( x ) f 2 ( x ) − f 3 ( x ) f 2 ( x ) = g 3 ( x ) f 3 ( x ) − f 4 ( x ) ∗ ⋮ f l − 1 ( x ) = g l ( x ) f l ( x ) {\displaystyle {\begin{matrix}f_{0}(x)&=&g_{1}(x)f_{1}(x)-f_{2}(x)\\f_{1}(x)&=&g_{2}(x)f_{2}(x)-f_{3}(x)\\f_{2}(x)&=&g_{3}(x)f_{3}(x)-f_{4}(x)\\*&\vdots &\\f_{l-1}(x)&=&g_{l}(x)f_{l}(x)~~~~~~~~~~\\\end{matrix}}} このとき f l ( x ) {\displaystyle f_{l}(x)} は f 0 ( x ) {\displaystyle f_{0}(x)} と f 1 ( x ) {\displaystyle f_{1}(x)} との最大公約数であり、さらに f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} と f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} が共通根をもたない、 すなわち f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} が単根のみをもつとき、 f l ( x ) = {\displaystyle f_{l}(x)=} 定数 ≠ 0 {\displaystyle \neq 0} を満足する。 また、3重対角化された対称行列 A {\displaystyle A} からなる行列 λ I − A {\displaystyle \lambda I-A} の主小行列式により構成される多項式列や、最高次の係数が正である直交多項式の列も 区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} においてスツルム列をなす。
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