ユークリッドの証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/24 03:48 UTC 版)
2p−1Mp が完全数であることの証明： ユークリッドの証明 Mp = 2p − 1 は奇数になるから、2p−1 と Mp は互いに素になる。 よって、σ(n) を約数関数とすると、約数関数は乗法的なので、N = 2p−1Mp の約数の総和 σ(N) は、 σ ( N ) = σ ( 2 p − 1 ) σ ( M p ) . {\displaystyle \sigma (N)=\sigma (2^{p-1})\sigma (M_{p}).} このとき、 σ ( 2 p − 1 ) = ∑ k = 0 p − 1 2 k = 2 p − 1 = M p . {\displaystyle \sigma (2^{p-1})=\sum _{k=0}^{p-1}2^{k}=2^{p}-1=M_{p}.} Mp は素数なので、 σ ( M p ) = M p + 1 = 2 p . {\displaystyle \sigma (M_{p})=M_{p}+1=2^{p}.} したがって、 σ ( N ) = M p 2 p = 2 N . {\displaystyle \sigma (N)=M_{p}2^{p}=2N.} すなわち、N の約数の総和が 2N に等しくなるので、N は完全数である。Q.E.D.
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