マクドナルドの積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/08/21 08:29 UTC 版)
「セルバーグ積分」の記事における「マクドナルドの積分」の解説
Macdonald (1982) はメータの積分のすべての有限ルート系への次のような拡張を予想した。（メータのもともとの場合は An−1 というルート系に対応する。） 1 ( 2 π ) n / 2 ∫ ⋯ ∫ | ∏ r 2 ( x , r ) ( r , r ) | γ e − ( x 1 2 + ⋯ + x n 2 ) / 2 d x 1 ⋯ d x n = ∏ j = 1 n Γ ( 1 + d j γ ) Γ ( 1 + γ ) . {\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \cdots \int \left|\prod _{r}{\frac {2(x,r)}{(r,r)}}\right|^{\gamma }e^{-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})/2}dx_{1}\cdots dx_{n}=\prod _{j=1}^{n}{\frac {\Gamma (1+d_{j}\gamma )}{\Gamma (1+\gamma )}}.} 積はルート系のルート r 全体を渡り、数 dj は鏡映群の不変式環の生成元の次数である。Opdam (1989) はすべての結晶鏡映群に対する統一的な証明を与えた。数年後彼は、Garvan によるコンピュータによる計算支援を利用して、完全な一般性を以ってそれを証明した (Opdam (1993))。
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