ポワソン–メリン–ニュートン循環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 13:46 UTC 版)
「ネールント–ライス積分」の記事における「ポワソン–メリン–ニュートン循環」の解説
Flajolet, Sedgewick & Regnie (1985)の注意するところによれば、ポワソン–メリン–ニュートン循環 (Poisson–Mellin–Newton cycle) は、ネールント–ライス積分がメリン変換に似ているのは偶然のことではなく、二項変換（英語版）とニュートン級数（英語版）の意味で関係することを見るものである。 この循環において、数列 {fn} に対応するポワソン母函数 g ( t ) = e − t ∑ n = 0 ∞ f n t n {\textstyle g(t)=e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}t^{n}} に対し、そのメリン変換 φ ( s ) = ∫ 0 ∞ g ( t ) t s − 1 d t {\textstyle \varphi (s)=\int _{0}^{\infty }g(t)t^{s-1}{\mathit {dt}}} をとるとき、ネールント–ライス積分 f n = ( − 1 ) n 2 π i ∫ γ ϕ ( s ) Γ ( − s ) n ! s ( s − 1 ) ⋯ ( s − n ) d s {\displaystyle f_{n}={\frac {(-1)^{n}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {\phi (s)}{\Gamma (-s)}}{\frac {n!}{s(s-1)\cdots (s-n)}}{\mathit {ds}}} の意味でもともとの数列が回復できる。ただし Γ はガンマ函数である。
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